2011年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x≥3}，B={x|（x-2）（x-4）＜0}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|3≤x＜4}
C．{x|3≤x≤4}
D．{x|x＞4}

2. 难度：中等

设向量=（1，x-1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知，运算原理如图所示，则输出的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是）（ ）

A．2π
B．
C．
D．3π

5. 难度：中等

根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．据有关报道，2009年8月15日至8 月28日，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）

A．25
B．50
C．75
D．100

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为3，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₂等于（ ）
A．9
B．3
C．-3
D．-9

7. 难度：中等

已知函数F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）

8. 难度：中等

正方体ABCD_A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A₁D₁的距离为，则点P的轨迹是（ ）
A．两个点
B．直线
C．圆
D．椭圆

二、解答题

9. 难度：中等

在（2+x）⁵的展开式中，x²的系数为    ．

10. 难度：中等

一个正方形的内切圆半径为2，向该正方形内随机投一点P，点P恰好落在圆内的概率是    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数，m是常数），曲线C的对称中心是    ，若曲线C与y轴相切，则m=    ．

12. 难度：中等

如图，⊙O中的弦CD与直径AB相交于点E，M为AB延长线上一点，MD为⊙O的切线，D为切点，若AE=2，DE=4，CE=3，DM=4，则OB=    ，MB=    ．

13. 难度：中等

已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=    ．

14. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-，]上是增函数．
其中正确的命题的序号    ．

15. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π．
（I） 求ω的值；
（II）求函数f（x）在区间的取值范围．

16. 难度：中等

一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．
（Ⅰ）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；
（Ⅱ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率；
（III）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望．

17. 难度：中等

如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）在线段AB上是否存在点M，使二面角D₁-MC-D的大小为？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知椭圆C：，左焦点，且离心率
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为，若函数g（x）=，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=，且对任意n∈N^*，都有．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k-a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令，证明：对任意n∈N*，都有不等式成立．