2011年北京市怀柔区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

某网站就观众对2010年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：

喜爱程度	喜欢	一般	不喜欢
人数	560	240	200

（1）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5人，则n的值为多少？
（2）在（1）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的极值．

3. 难度：中等

已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

4. 难度：中等

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，猜测a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有多少个；
（Ⅲ）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，试求l（A）．

二、选择题

5. 难度：中等

已知集合A={x|x≤1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|1≤x＜2}

6. 难度：中等

复数i（1-i）-1=（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₁=-1，a₂=2，则 a₄+a₅=（ ）
A．3
B．8
C．14
D．19

8. 难度：中等

如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若=（a+2，-5），=（a-2，-），则“a=1”是“⊥”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

如图，是计算函数y=的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（ ）
A．y=-x，y=0，y=x²
B．y=-x，y=x²，y=0
C．y=0，y=x²，y=-
D．y=0，y=-x，y=x²

11. 难度：中等

函数的一个单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

四棱锥P-ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（ ）

A．
B．
C．
D．

三、解答题

13. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=2^|x|的最小值为    ；图象的对称轴方程为    ．

15. 难度：中等

如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分（包括边界），则这个不等式组是    ．

16. 难度：中等

如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为    ；甲、乙两班平均身高较高的班级    ．

17. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别是F₁、F₂，其一条渐近线方程为y=x，则b=    ；若点p（）在双曲线上，则•=    ．

18. 难度：中等

在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：

时间	油耗（升/100公里）	可继续行驶距离（公里）
10：00	9.5	300
11：00	9.6	220

注：油耗=，可继续行驶距离=，
平均油耗=．
从上述信息可以推断在10：00-11：00这1小时内     （填上所有正确判断的序号）．
①向前行驶的里程为80公里；
②向前行驶的里程不足80公里；
③平均油耗超过9.6升/100公里；
④平均油耗恰为9.6升/100公里；
⑤平均车速超过80公里/小时．

19. 难度：中等

已知．
（1）求tanα的值；
（2）求tan（α+2β）的值．

20. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．