2011-2012学年湖南师大附中海口中学高三第五次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合C_U（A∩B）的元素个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

已知复数z₁=cos23°+isin23°和复数z₂=cos37°+isin37°，则z₁•z₂为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设向量=（1，x-1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若函数y=f（x）的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，2]
B．[0，2）
C．[0，2）∪（2，8]
D．（0，2）

5. 难度：中等

如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）的值为（ ）

A．1
B．2
C．0
D．

6. 难度：中等

在四边形ABCD中，且=0，则四边形ABCD是（ ）
A．等腰梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形

7. 难度：中等

将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）
A．
B．
C．5
D．25

9. 难度：中等

已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a₁，a₃，a₂成等差数列，则q=（ ）
A．1或-
B．1
C．-
D．-2

10. 难度：中等

若f（sinx）=3-cos2x，则f（cosx）=（ ）
A．3-cos2
B．3-sin2
C．3+cos2
D．3+sin2

11. 难度：中等

关于x的不等式ax-b＞0的解集为（2，+∞），则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（-2，3）
B．（-∞，-2）∪（3，+∞）
C．（2，3）
D．（-∞，-3）∪（2，+∞）

12. 难度：中等

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，设（e为自然对数的底），则（ ）
A．F（2012）＞F（0）
B．F（2012）＜F（0）
C．F（2012）=F（0）
D．F（2012）与F（0）的大小不确定

二、解答题

13. 难度：中等

若数列{a_n}满足：，则a₄=    ；前7项的和S₇=    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

已知1＜a+b＜3且-1＜a-b＜1，则2a+b的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是    ．

16. 难度：中等

下表结出一个“直角三角形数阵”



…
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a_ij（i≥j，i，j∈N⁺），则a₈₃等于    ．

17. 难度：中等

某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB=80米，当航模在C 处时，测得∠ABC=
105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号）

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₂=-6，S₄=-20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n的最小值．

19. 难度：中等

已知向量=（sinB，1-cosB）与向量=（2，0）的夹角为，其中A、B、C是△ABC的内角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax-1）e^x，a∈R
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值．
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知曲线C₁：（θ为参数），曲线C₂：（t为参数），
（1）曲线C₁、C₂是否有公共点，为什么？
（2）若把上各点的横坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C₁′、C₂′，问C₁′与C₂′公共点的个数和C₁与C₂公共点的个数是否相同？说明你的理由．

23. 难度：中等

已知关于 x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有2．
（1）求整数m的值．
（2）解不等式|x-1|+|x-3|≥m．