2010年广东省深圳市宝安区松岗中学高考数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

2. 难度：中等

若复数z（1-i）=a+3i（i是虚数单位，a是实数），且（为共轭的复数），则a=（ ）
A．2
B．
C．3
D．-3

3. 难度：中等

若函数f（x）=cos²2x-sin²2x+sin4x（x∈R），则f（x）=（ ）
A．最小正周期为，最大值为1
B．最小正周期为π，最大值为
C．最小正周期为，最小值为
D．最小正周期为π，最小值为-1

4. 难度：中等

如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．84，4.84
B．84，1.6
C．85，4
D．85，1.6

5. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=1，a₅+a₉=98，S_n为其前n项和，则S₉等于（ ）
A．297
B．294
C．291
D．300

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为（ ）
A．3+2
B．-3+2
C．-5
D．1

7. 难度：中等

设S=+++…+，则不大于S的最大整数[S]等于（ ）
A．2007
B．2008
C．2009
D．3000

8. 难度：中等

已知二面角α-l-β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足，且PA=4，PB=5，点A、B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知函数f（x）=2ax²+4（a-3）x+5是在区间（-∞，3）上的减函数，则a的取值范围是     ．

10. 难度：中等

已知曲线C：y=lnx-4x与直线x=1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是     ．

11. 难度：中等

抛物线x²=-2y中斜率为2的平行弦（动弦）的中点的轨迹方程是     ．

12. 难度：中等

如图所示的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1，（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加，则第n+1行中第2个数是    （用n表示）．

13. 难度：中等

设函数，则当x=    时，f（x）取最大值．

14. 难度：中等

在极坐标系xoy中，定点A（2，π），动点B在直线上运动，则线段AB的最短长度为    ．

15. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，
求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，且cos 2C+2cos（A+B）=-．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积S．

17. 难度：中等

一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，而前三次中只要抽查到次品就停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．
（Ⅰ）求这箱产品被用户拒绝接收的概率；
（Ⅱ）记x表示抽检的产品件数，求x的概率分布列．

18. 难度：中等

已知、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围．

19. 难度：中等

在三棱锥V-ABC中，底面△ABC是以∠ABC为直角的等腰三角形．又V在底面ABC上的射影H在线段AC上且靠近点C，AC=4，，VB和底面ABC所成的角为45°．
（Ⅰ）求点V到底面ABC的距离；
（Ⅱ）求二面角V-AB-C的大小的正切值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（Ⅰ）若a=-4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设数列{b_n}满足，证明：①（； ②b_n＜1．