2012年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数a+bi=i（1-i）（其中a，b∈R，i是虚数单位），则a+b的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．2

2. 难度：中等

已知全集U=R，函数的定义域为集合A，函数y=log₂（x+2）的定义域为集合B，则集合（∁_UA）∩B=（ ）
A．（-2，-1）
B．（-2，-1]
C．（-∞，-2）
D．（-1，+∞）

3. 难度：中等

如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（ ）
A．3
B．6
C．12
D．24

4. 难度：中等

已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x²+y²=r²内一点，直线l的方程为ax+by+r²=0，那么直线l与圆O的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定

5. 难度：中等

已知函数f（x）=2x+1，对于任意正数a，|x₁-x₂|＜a是|f（x₁）-f（x₂）|＜a成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知两个非零向量与，定义|×|=||||sinθ，其中θ为与的夹角．若=（-3，4），=（0，2），则|×|的值为（ ）
A．-8
B．-6
C．6
D．8

7. 难度：中等

在三角形ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标（x，y，z），若x+y+z是3的倍数，则满足条件的点的个数为（ ）
A．252
B．216
C．72
D．42

二、填空题

9. 难度：中等

如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为    ．

10. 难度：中等

已知，则实数k的取值范围为    ．

11. 难度：中等

已知幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为    ．

12. 难度：中等

已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x||x-a|≤1}，若A∩B=A，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，则a₅=    ，若a_n=145，则n=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP=3cm，弦CD过点P，且，则CD的长为    cm．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：（s为参数）和C：（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）求的值；
（2）设，若，求的值．

17. 难度：中等

如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
（1）求a的值；
（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；
（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）．

18. 难度：中等

如图所示，在三棱锥P-ABC中，，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，．
（1）证明△PBC为直角三角形；
（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

19. 难度：中等

等比数列{a_n}的各项均为正数，2a₄，a₃，4a₅成等差数列，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知椭圆的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x₁、x₂，证明：x₁•x₂=1；
（3）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且，求的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），（n∈N^*）．
（1）证明：f（x）≥g₁（x）；
（2）当x＞0时，比较f（x）与g_n（x）的大小，并说明理由；
（3）证明：（n∈N^*）．