2012年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，1，3}，B=，且B⊆A，则实数a的值是    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足（2-i）z=5i（其中i为虚数单位），则复数z的模是    ．

3. 难度：中等

根据如图所示的流程图，若输入x的值为-7.5，则输出y的值为    ．

4. 难度：中等

若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方形玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为m、n，则方程x²+2mx+n=0无实根的概率是    ．

5. 难度：中等

为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的重量（单位：克）作为样本．如图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均重量是    克．

6. 难度：中等

已知正△ABC的边长为1，，则=    ．

7. 难度：中等

已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件：
①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；
②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；
③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；
④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．
其中是平面α∥平面β的充分条件的为    ．（填上所有符合要求的序号）

8. 难度：中等

若函数是奇函数，则满足f（x）＞a的x的取值范围是    ．

9. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，记不等式组表示的平面区域为D．若指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象与D有公共点，则a取值范围是    ．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且位于x轴上方．若点P到坐标原点O的距离为，则过F、O、P三点的圆的方程是    ．

11. 难度：中等

已知，则cosα=    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），直线l：x+y-4=0．点B（x，y）是圆C：x²+y²-2x-1=0的动点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，则线段DE的最大值是    ．

13. 难度：中等

如图，将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列a₁，a₂，a₅，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列．若a₄=5，a₈₆=518，则d=    ．

14. 难度：中等

若不等式|ax³-lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积S．

16. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）．将△ABD沿着AD折起到△AB'D的位置，连接B'C（如图2）．

（1）若平面AB'D⊥平面AD C，求三棱锥B'-AD C的体积；
（2）记线段B'C的中点为H，平面B'ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；
（3）求证：AD⊥B'E．

17. 难度：中等

在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为cv²（c为正常数）；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．
（1）将y表示为v的函数；
（2）设0＜v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过点A（-2，-1）椭圆的左焦点为F，短轴端点为B₁、B₂，．
（1）求a、b的值；
（2）过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R．过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P．若AQ•AR=3OP²，求直线l的方程．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的奇数项是公差为d₁的等差数列，偶数项是公差为d₂的等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a₂=2．
（1）若S₅=16，a₄=a₅，求a₁₀；
（2）已知S₁₅=15a₈，且对任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1恒成立，求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a_m=a_n．求当d₁最大时，数列{a_n}的通项公式．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）如果对于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，总存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲：
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于点F．求证：PF•PO=PA•PB．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换：
已知曲线C：x²+y²=1，对它先作矩阵A=对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，得到曲线．求实数b的值．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程：
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是和ρsin²θ=8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲：
解不等式：．

25. 难度：中等

一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个．
（1）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．

26. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项为1，．
（1）若数列{a_n}是公比为2的等比数列，求p（-1）的值；
（2）若数列{a_n}是公差为2的等差数列，求证：p（x）是关于x的一次多项式．