2013年全国高校自主招生数学模拟试卷（十六）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于每个自然数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₂B₁₉₉₂|的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则它的方程是（ ）

A．（）•（）=0
B．（）•（）=0
C．（）•（）=0
D．（）•（）=0

3. 难度：中等

设四面体四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，它们的最大值为S，记λ=，则λ一定满足（ ）
A．2＜λ≤4
B．3＜λ＜4
C．2.5＜λ≤4.5
D．3.5＜λ＜5.5

4. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c （b≠1），且、都是方程的根，则△ABC（ ）
A．是等腰直角三角形
B．是等腰三角形但不是直角三角形
C．是直角三角形但不是等腰三角形
D．不是等腰三角形，也不是直角三角形

5. 难度：中等

设复数z₁，z₂在复平面上对应的点分别为A，B，且|z₁|=4，4z₁²-2z₁z₂+z₂²=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A．8
B．4
C．6
D．12

6. 难度：中等

设f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），则f（x）是（ ）
A．偶函数，又是周期函数
B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数
D．奇函数，但不是周期函数

二、填空题

7. 难度：中等

设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，则+的值是    ．

8. 难度：中等

在区间[0，π]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是    ．

9. 难度：中等

从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是    ．

10. 难度：中等

设z₁，z₂都是复数，且|z₁|=3，|z₂|=5|z₁+z₂|=7，则arg（）³的值是    ．

11. 难度：中等

设数列a₁，a₂，…，a_n，…满足a₁=a₂=1，a₃=2，且对任何自然数n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，则a₁+a₂+…+a₁₀₀的值是    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=-的最大值是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

求证：16＜＜17．

14. 难度：中等

设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l与m的距离．

15. 难度：中等

设n是自然数，f_n（x）=（x≠0，±1），令y=x+．
（1）求证：f_n+1（x）=yf_n（x）-f_n-1（x），（n＞1）
（2）用数学归纳法证明：
f_n（x）=．