《第十五章 数系扩充与复数引入》2013年高考数学优化训练（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数（a²-4a+3）+（a-1）i是纯虚数，（a∈R），则实数a的值为（ ）
A．1
B．3
C．1或3
D．-1

2. 难度：中等

三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②某艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中小前提是（ ）
A．①
B．②
C．①②
D．③

3. 难度：中等

曲线y=e^x在点（2，e²）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A．e²
B．2e²
C．e²
D．

4. 难度：中等

用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（ ）
A．=
B．＜
C．=且＞
D．=或＜

5. 难度：中等

已知M={1，2，（a-1）+（b-5）i}，N={-1，3}，M∩N={3}，实数a与b的值分别是（ ）
A．-4，5
B．4，5
C．-4，-5
D．4，-5

6. 难度：中等

已知复数z=1-i，则=（ ）
A．2i
B．-2i
C．2
D．-2

7. 难度：中等

下列类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若a，b∈R，则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a-b=0⇒a=b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则”；
③“若a，b∈R，则a-b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a-b＞0⇒a＞b”．
其中类比结论正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

若函数f（x）=x³+f′（1）x²-f′（2）x+3，则f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．π

9. 难度：中等

函数f（x）=e^x（sinx+cosx）在区间[0，]上的值域为（ ）
A．[，e]
B．（，e）
C．[1，e]
D．（1，e）

10. 难度：中等

若函数f（x）=ax³-3x在（-1，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1
B．a≤1
C．0＜a＜1
D．0＜a≤1

11. 难度：中等

已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

下列关于函数f（x）=（2x-x²）e^x的判断正确的是（ ）
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-）是极小值，f（）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
A．①③
B．①②③
C．②
D．①②

二、填空题

13. 难度：中等

知复数z₁=4+2i，z₂=k+i，且z₁•₂是实数，则实数k=    ．

14. 难度：中等

如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=    ；函数f（x）在x=1处导数f′（1）=    ．

15. 难度：中等

已知，，…均为实数），请推测a=   
b=    ．

16. 难度：中等

直线y=a与函数f（x）=x³-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

复数z₁=+（10-a²）i，z₂=+（2a-5）i，若+z₂是实数，求实数a的值．

18. 难度：中等

设函数f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，已知它们的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-m•g（x）在区间[]上是单调减函数，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

20. 难度：中等

设函数，
（1）对于任意实数x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m＞2时，求函数f（x）的极大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的单调增区间．
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．