2013年广西河池市、柳州市、贵港市、钦州市高三1月模拟数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁_UM=（ ）
A．U
B．{1，3，5}
C．{2，4，6}
D．{3，4，5}

2. 难度：中等

已知sinθ=，sinθ-cosθ＞1，则sin2θ=（ ）
A．-
B．-
C．-
D．

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₁＞0，a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₁=0，则使前n项和s_n取得最大值的n值为（ ）
A．50
B．51
C．50或51
D．51或52

4. 难度：中等

直线y=kx+3与（x-2）²+（y-3）²=4相交于A、B两点，若的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则m的值为（ ）
A．1
B．-1
C．4
D．-4

6. 难度：中等

若曲线y=x²在点（a，a²）（a＞0）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于（ ）
A．2
B．4
C．
D．

7. 难度：中等

已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直

8. 难度：中等

从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有（ ）
A．30种
B．36种
C．42种
D．60种

9. 难度：中等

函数的图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为（ ）
A．25π
B．50π
C．5π
D．10π

11. 难度：中等

函数f（x）=1+log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中mn＞0，则的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

已知椭圆方程为+=1（a＞b＞0），O为原点，F为右焦点，点M是椭圆右准线l上（除去与x轴的交点）的动点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，则线段ON的长为（ ）
A．c
B．b
C．a
D．不确定

二、填空题

13. 难度：中等

函数的定义域是    ．

14. 难度：中等

已知x，y满足不等式组，则x+2y的最大值是    ．

15. 难度：中等

函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Asinωx的国像，只需将f（x）的图象向右平移    个单位．

16. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．
现有如下函数：
①f（x）=x³；
②f（x）=2^-x；
③；
④f（x）=x+sinx．
则存在承托函数的f（x）的序号为    ．（填入满足题意的所有序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集
（Ⅰ）求角C的最大值；
（Ⅱ）若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．

18. 难度：中等

甲、乙两人进行摸球游戏，每次摸取一个球，一袋中装有形状、大小相同的1个红球和2个黑球，规则如下：若摸到红球，将此球放入袋中可继续再摸；若摸到黑球，将此球放入袋中则由对方摸球．
（1）求在前四次摸球中，甲恰好摸到两次红球的概率；
（2）设随机变量ξ表示前三次摸球中甲摸到红球的次数，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N⁺）
（1）证明：数列{a_n+1-a_n }是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

21. 难度：中等

设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在经过点（0，-3）的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围
（2）若g（x）=x³+（b-a+1）x+a+c 写出使的g（x）＞f（x）的x取值范围．