2012-2013学年北京市海淀区八一中学高三（上）周练数学试卷（2）（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若f（x）=x²-2x-4lnx，则f′（x）＞0的解集为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-1，0）∪（2，+∞）
C．（2，+∞）
D．（-1，0）

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，使x²+ax-4a＜0为假命题”是“-16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

设等比数列{a_n} 的公比q=，前n项和为S_n，则=（ ）
A．14
B．15
C．
D．

4. 难度：中等

若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，2）
B．
C．（0，2）
D．

5. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上单调递增，a=f（3），b=f（），c=f（2），则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a

6. 难度：中等

若函数在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．[-2，+∞）
B．[2，+∞）
C．（-∞，-2]
D．（-∞，2]

7. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f^′（x）为f（x）的导函数，函数y=f^′（x）的图象如图所示，且f（-2）=1，f（3）=1，则不等式f（x²-6）＞1的解集为（ ）

A．（2，3）
B．（-，）
C．（2，3）∪（-3，-2）
D．（-∞，-）∪（，+∞）

8. 难度：中等

下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（ ）
A．f（x）=e^x
B．f（x）=x³
C．f（x）=ln
D．f（x）=sin

9. 难度：中等

给出定义：若（其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四个命题：
①函数f（x）的定义域为R，值域为； ②函数f（x）是R上的增函数；
③函数f（x）是周期函数，最小正周期为1；  ④函数f（x）是偶函数，
其中正确的命题的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、填空题

10. 难度：中等

已知集合A={x|log₂x≤2}，，若A⊆B，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

将函数y=lgx的图象向右平移3个单位，再保持纵坐标不变横坐标变为原来的倍，得到新函数的解析式为    ．

12. 难度：中等

若cosα=-，α是第三象限的角，则cos（α+）=    ．

13. 难度：中等

已知f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为    ．

15. 难度：中等

设函数y=f（x）在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，若对任意的x∈（0，+∞），恒有f_k（x）=f（x），则K的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}，a₁=m，m∈N^*，，若a₁=2013，则a₂₀₁₃=    ；若{a_n}中有且只有5个不同的数字，则m的不同取值共有    个．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求的值； 
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．

18. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出a_n关于n的表达式；
（2）若数列前n项和为T_n，问满足的最小正整数n是多少？．

19. 难度：中等

已知函数（a≥0）．
（I）当a=1时，求f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

20. 难度：中等

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求证f（x）=x．