2012-2013学年浙江省绍兴一中高三（上）10月段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={0，2，a}，B={1，a²}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃a₉=2，a₂=2，则a₁=（ ）
A．
B．
C．
D．2

3. 难度：中等

若，则与的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

4. 难度：中等

若M为△ABC所在平面内一点，且满足（）•-2=0，则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x|x|-2x，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）
B．f（x）是偶函数，递减区间是（-∞，1）
C．f（x）是奇函数，递减区间是（-1，1）
D．f（x）是奇函数，递增区间是（-∞，0）

6. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（x）=f（π-x），且当x∈（-，）时，f（x）=x+sinx，则（ ）
A．f（1）＜f（2）＜f（3）
B．f（2）＜f（3）＜f（1）
C．f（3）＜f（2）＜f（1）
D．f（3）＜f（1）＜f（2）

7. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列（n∈N^*）的前n项和等于，则n等于 （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

8. 难度：中等

在△ABC中，tanA是以-4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形

9. 难度：中等

直线与函数y=sinx（x∈[0，π]）的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极大值点，与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则=（ ）
A．
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

已知函数（a为常数，且a∈N^*），对于定义域内的任意两个实数x₁、x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜1成立，则正整数a可以取的值有（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个

二、填空题

11. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+1）的定义域和值域都是[0，1]，则实数a的值是    ．

13. 难度：中等

以下命题：
①若|-|=||-||，则∥；
②=（-1，1）在=（3，4）方向上的投影为；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，-=20；
④若非向量、满足=，则|2|＞|+2|．
其中所有真命题的标号是    ．

14. 难度：中等

设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为    ．

15. 难度：中等

给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x，y∈R，则x+y的最大值是    ．

16. 难度：中等

将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第    行．
第1行  1    1
第2行         1   0   1
第3行       1   1   1   1
第4行     1   0   0   0   1
第5行   1   1   0   0   1   1
…

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ；圆x²+y²=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）已知数列{b_n}有求数列{b_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知f（x）=x-lnx，g（x）=，其中x∈（0，e]（e是自然常数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调性和极小值；
（Ⅱ）求证：g（x）在（0，e]上单调递增；
（Ⅲ）求证：f（x）＞g（x）+．

21. 难度：中等

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

22. 难度：中等

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=，n∈N^﹡，
（Ⅰ）设b_n+1=1+，n∈N^﹡，求证：
（1）=；
（2）数列{}是等差数列，并求出其公差；
（Ⅱ）设，n∈N^﹡，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．