2009-2010学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷（必修2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A．三角形
B．四边相等的四边形
C．梯形
D．平行四边形

2. 难度：中等

过两点A（-2，m），B（m，4）的直线倾斜角是45°，则m的值是（ ）
A．-1
B．3
C．1
D．-3

3. 难度：中等

一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（ ）
A．
B．
C．16π
D．24π

4. 难度：中等

如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

圆C₁：（x+2）²+（y-2）²=1与圆C₂：（x-2）²+（y-5）²=16的位置关系是（ ）
A．外离
B．相交
C．内切
D．外切

6. 难度：中等

已知直线l₁：x+2ay-1=0，与l₂：（2a-1）x-ay-1=0平行，则a的值是（ ）
A．0或1
B．1或
C．0或
D．

7. 难度：中等

设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

8. 难度：中等

圆（x-1）²+y²=1与直线的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．直线过圆心

9. 难度：中等

过点P（2，1）且被圆C：x²+y²-2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（ ）
A．3x-y-5=0
B．3x+y-7=0
C．x-3y+5=0
D．x+3y-5=0

10. 难度：中等

在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知实数x，y满足的最小值为（ ）
A．4
B．1
C．2
D．

12. 难度：中等

对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BD₁与平面ABCD所成角的正切值是    ．

14. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，设点M是点N（2，-3，5）关于坐标平面xoy的对称点，则线段MN的长度等于     ．

15. 难度：中等

一个倒置的圆锥形漏斗，底面半径是10cm，母线长是26cm，把一个球放在漏斗内，圆锥的底面正好和球相切，则这个球的体积是     cm³．

16. 难度：中等

一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的半径是    ．

17. 难度：中等

已知圆C₁：（x+1）²+（y-1）²=1，圆C₂与圆C₁关于直线x-y-1=0对称，则圆C₂的方程为    ．

18. 难度：中等

直线l：y=x+b与曲线c：仅有一个公共点，则b的取值范围     ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知直线l₁：x+2y+1=0，l₂：-2x+y+2=0，它们相交于点A．
（1）判断直线l₁和l₂是否垂直？请给出理由；
（2）求过点A且与直线l₃：3x+y+4=0平行的直线方程．

20. 难度：中等

如图所示，一个简单的空间几何体的正视图和侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，试描述该几何体的特征，并求该几何体的体积和表面积．

21. 难度：中等

如图，在△ABC中，D是BC边上的任一点（D与B，C不重合），
且||²=||²+||•||，试建立适当的直角坐标系，证明：△ABC为等腰三角形．

22. 难度：中等

如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．
（3）若PO=1，AB=2，则异面直线OE与AD所成角的余弦值．

23. 难度：中等

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）设l与圆交于A、B两点，若，求直线l的方程．

24. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求几何体D-ABC的体积．

25. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

26. 难度：中等

如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）记（Ⅰ）中所得的曲线为C．过原点O作两条直线l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x分别交曲线C于点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）．求证：；
（III）对于（Ⅱ）中的E、F、G、H，设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R．求证：|OQ|=|OR|．（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）