2009-2010学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}集合A={1，3，4，6}，B={2，4，5，6}，则A∩∁_UB等于（ ）
A．{1，3}
B．{2，5}
C．{4}
D．∅

2. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是（ ）
A．[-1，3）
B．[-1，3]
C．（-1，3）
D．（-∞，-1]∪[3，+∞）

3. 难度：中等

下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（ ）
A．y=3^x
B．y=-
C．y=
D．y=

4. 难度：中等

命题“∀x＞0，都有x²-x≤0”的否定是（ ）
A．∃x＞0，使得x²-x≤0
B．∃x＞0，使得x²-x＞0
C．∀x＞0，都有x²-x＞0
D．∀x≤0，都有x²-x＞0

5. 难度：中等

已知向量=（1，k），=（2，1），若与的夹角大小为90°，则实数k的值为（ ）
A．-
B．
C．-2
D．2

6. 难度：中等

函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x的最小正周期为（ ）
A．3π
B．2π
C．π
D．

7. 难度：中等

函数在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

已知可导函数f（x）的导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x+1）的部分图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（x）=    ．

10. 难度：中等

已知tan（π-α）=且α是第四象限角，则sinα=    ．

11. 难度：中等

若a=log₂3+1，b=log₂14-1，则a，b的大小为    ．

12. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知a₄=-6，a₈=2，则当n=    时，S_n取最小值．

13. 难度：中等

把函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知可导函数y=f（x）满足f（x-2）=f（-x），函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1，则f′（1）=    ，函数y=f（x）的图象在点（-3，f（-3））处的切线方程为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x，|（x≥0），图象如图所示．函数g（x）=-x²-2x+a，（x＜0），其图象经过点A（-1，2）．
（1）求实数a的值，并在所给直角坐标系xOy内做出函数g（x）的图象；
（2）设h（x）=，根据h（x）的图象写出其单调区间．

16. 难度：中等

在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画，刚进入大厅时，他在点A处看这幅壁画顶端点C的仰角为45°，往正前方走4m后，在点B处看壁画顶端点C的仰角为75°（如图所示）．
（1）求BC的长；
（2）若小明身高为1.70m，求这幅壁画顶端点C离地面的高度．（精确到0.01m，其中≈1.732）．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，且a₅-2a₂=3．又数列{b_n}中，b₁=3且3b_n-b_n+1=0（n=1，2，3，…）．
（I） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若a_i=b_j，则称a_i（或b_j）是{a_n}，{b_n}的公共项．
①求出数列{a_n}，{b_n}的前4个公共项；
②从数列{a_n}的前100项中将数列{a_n}与{b_n}的公共项去掉后，求剩下所有项的和．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+x²+ax+b．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，求实数b的取值范围．

19. 难度：中等

已知数{a_n}的前n项和为S_n，且满S_n=2a_n-n（n=1，2，3_）
（1）a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（3）b_n=na_n，求数{b_n}的前n项T_n．

20. 难度：中等

设集合M是满足下列条件的函数f（x）的集合：①f（x）的定义域为R；②存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分别单调递增，在（a，b）上单调递减．
（I）设f₁（x）=x•|x-2|，f₂（x）=x³-3x²+3x，判断f₁（x），f₂（x）是否在集合M中，并说明理由；
（II）求证：对任意的实数t，f（x）=都在集合M中；
（Ⅲ）是否存在可导函数f（x），使得f（x）与g（x）=f'（x）-x都在集合M中，并且有相同的单调区间？请说明理由．