2011-2012学年广东省广州市铁一中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．2π
D．3π

2. 难度：中等

变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r₁表示变量Y与X之间的线性相关系数，r₂表示变量V与U之间的线性相关系数，则（ ）
A．r₂＜r₁＜0
B．0＜r₂＜r₁
C．r₂＜0＜r₁
D．r₂=r₁

3. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞0）的焦点坐标为，则a的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．10

4. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=5，AD=7，在矩形ABCD内任取一点P，事件A为“∠APB＞90°”，则P（A）值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是（ ）

A．7
B．6
C．5
D．4

6. 难度：中等

“双曲线方程为x²-y²=6”是“双曲线离心率”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

过双曲线x²-y²=8的右焦点F₂的一条弦PQ，|PQ|=7，F₁是左焦点，那么△F₁PQ的周长为（ ）
A．18
B．14-8
C．14+8
D．8

8. 难度：中等

若直线mx+ny=4和⊙O：x²+y²=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．至多1个
D．2个

9. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．一条直线
D．两条平行直线

二、填空题

11. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²+1＞0．则¬p是    ．

12. 难度：中等

双曲线-=1的渐近线方程是    ．

13. 难度：中等

若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则双曲线的离心率等于    ．

14. 难度：中等

椭圆的焦点F₁F₂，P为椭圆上的一点，已知PF₁⊥PF₂，则△F₁PF₂的面积为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设p：关于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，如果“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

17. 难度：中等

设平面向量=（m，1），=（2，n），其中m，n∈{1，2，3，4}．
（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；
（II）记“使得m⊥（m-n）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率．

18. 难度：中等

已知命题p：“直线y=kx+1椭圆恒有公共点”命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，且过点，
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：F₁M⊥F₂M．

20. 难度：中等

平面内与两定点A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．