2009-2010学年湖北省黄冈中学高一（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，则A∩B等于（ ）
A．
B．
C．
D．∅

2. 难度：中等

如果两个球的体积之比为1：27，那么两个球的表面积之比为（ ）
A．1：27
B．1：9
C．1：3
D．2：9

3. 难度：中等

三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．1条或2条

4. 难度：中等

如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2+
B．
C．
D．1+

5. 难度：中等

下列各函数中，最小值为2的是（ ）
A．
B．，
C．
D．

6. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m

7. 难度：中等

设f（x）是定义在R上恒不为0的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=，a_n=f（n）（n为常数），则数列{a_n}的前n项和S_n的取值范围是（ ）
A．[，2）
B．[，2]
C．[，1]
D．[，1）

8. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为（ ）
A．3，-11
B．-3，-11
C．11，-3
D．11，3

9. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，AD=4，AA₁=3，分别过BC、A₁D₁的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若V₁：V₂：V₃=1：4：1，则截面A₁EFD₁的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．16

10. 难度：中等

设M是△ABC内一点，且△ABC的面积为1，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（，x，y），则+的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．16
D．18

二、填空题

11. 难度：中等

函数的定义域是    ．

12. 难度：中等

若圆锥的表面积是16π，侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的体积是    ．

13. 难度：中等

已知x+2y-4=0，则3^x+9^y的最小值为    ．

14. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，则A₁C和B₁D₁所成角的大小为    ．

15. 难度：中等

将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知关于x的不等式＜0的解集为M．
（1）当a=4时，求集合M；
（2）若3∈M且5∉M，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S．

18. 难度：中等

{a_n}为等差数列，公差d＞0，S_n是数列{an}前n项和，已知a₁a₄=27，S₄=24．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

20. 难度：中等

甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x） 及任意的x≥0，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x） 万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x） 万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败的风险．
（1）请解释f（0）、g（0）的实际意义；
（2）当f（x）=x+4，时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能的少投入宣传费用，问此时甲乙两公司应各投入多少宣传费用？

21. 难度：中等

已知公差为d（d＞1）的等差数列{a_n}和公比为q（q＞1）的等比数列{b_n}，满足集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}
（1）求通项a_n，b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n；
（3）若恰有4个正整数n使不等式成立，求正整数p的值．

22. 难度：中等

已知定义域在R上的单调函数y=f（x），存在实数x，使得对于任意的实数x₁，x₂，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且对任意正整数n，有a_n=，b_n=f（）+1，记T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求a_n与T_n；
（3）在（2）的条件下，若不等式对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．