2009-2010学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x||2x-1|≤5}，B={x|x²-2x-3＜0}，则A∩（∁_RB）=（ ）
A．[-2，-1]
B．（-1，3）
C．[-2，-1]∪{3}
D．（-1，3）∪{-2}

2. 难度：中等

函数y=e^x+1（x∈R）的反函数是（ ）
A．y=1+lnx（x＞0）
B．y=1-lnx（x＞0）
C．y=-1-lnx（x＞0）
D．y=-1+lnx（x＞0）

3. 难度：中等

函数y=ln（x²-2x）的单调增区间是（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，0）
C．（1，+∞）
D．（2，+∞）

4. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x²-3在区间[0，3]上的值域是（ ）
A．[-7，-3]
B．{-3}
C．[-5，-3]
D．[-10，-3]

5. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域是{1，2，3}，从集合{1，2，3，4，5}中选出3个数构成函数f（x）的值域，若f（3）≠3，则这样的函数f（x）共有（ ）
A．24个
B．48个
C．60个
D．125个

6. 难度：中等

设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

设随机变量服从正态分布N（0，1），记φ（x）=P（ξ＜x），则下列结论正确的是（ ）
A．φ（0）=0
B．φ（0）=
C．φ（-x）=φ（x）
D．φ（-x）=-φ（x）

8. 难度：中等

设函数f（x）=sin（ωx+）-1（ω＞0）的导数f′（x）的最大值为3，则f（x）的图象的一条对称轴的方程是（ ）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=

9. 难度：中等

若，则下列结论中不正确的是（ ）
A．log_ab＞log_ba
B．|log_ab+log_ba|＞2
C．（log_ba）²＜1
D．|log_ab|+|log_ba|＞|log_ab+log_ba|

10. 难度：中等

已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A．y=±
B．y=±
C．y=±
D．y=±

11. 难度：中等

已知定义域为R上的函数f（x）满足f（2+x）=-f（2-x），当x＜2时，f（x）单调递增，如果x₁+x₂＜4，且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．可能为0
B．恒大于0
C．恒小于0
D．可正可负

12. 难度：中等

设f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）为其导数，如图是y=x•f′（x）图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别为（ ）

A．f（1）与f（-1）
B．f（-1）与f（1）
C．f（2）与f（-2）
D．f（-2）与f（2）

二、填空题

13. 难度：中等

在的展开式中，常数项等于    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是    ．

15. 难度：中等

复数的实部与虚部之和为    ．

16. 难度：中等

已知f（x）是定义域为R的函数，给出下列命题：
①若f′（1）=0，则x=1是f（x）的极值点；
②若1＜a＜3，则函数f（x）=是单调函数；
③若f（x）为奇函数，又f（x+1）为偶函数，则f（1）+f（3）+…+f（19）=f（2）+f（4）+…+f（20）；
④若f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*），且f（x）在x=1处的切线与x轴交于点（x_n，0），则lgx₁+lgx₂+…+lgx₉₉=-2
其中正确命题的序号是     （写出所有正确命题的序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²x+2．
（1）求f（x）的周期；
（2）若x，求f（x）的最大值和最小值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的大小．

19. 难度：中等

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（n∈N^*）．
（1）求通项a_n；
（2）设A=，证明：对任意m≥2，且m∈N^*，都有A．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）令g（x）=f（x）-kx（k∈R），如果g（x）图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB的中点为G（x，0），问g（x）在x=x处是否取得极值．