2013-2014学年江西赣州四所重点中学高三上学期期末联考文数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数的虚部是（    ）

A． B．i  C．1   D．i

2. 难度：简单

下列命题中的假命题是（    ）

A．任意x∈R,＋1＞0   B．任意x∈R,e^x＞0

C．存在x∈R,lnx＝0      D．存在x∈R,tanx＝－1

3. 难度：简单

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂＝3，a₆＝11，则S₇＝（    ）

A．91   B．   C．98   D．49

4. 难度：中等

执行右图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（    ）

A．1     B．2    C．3  D．4

5. 难度：简单

若两个非零向量, 满足|＋|＝|－|＝||，则向量＋与－的夹角为（    ）

A． B． C．   D．

6. 难度：困难

定义在R上的函数在(6, ＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋6)为偶函数，则（    ）

A．f(4)＞f(5) B．f(4)＞f(7) C．f(5)＞f(7)  D．f(5)＞f(8)

7. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（    ）

A．54cm²  B．91cm²  C．75＋4cm²  D．75＋2cm²

8. 难度：简单

设函数f(x)＝sin(wx＋)＋sin(wx－)(w＞0)的最小正周期为π，则（    ）

A．f(x)在(0, )上单调递增  B．f(x)在(0, )上单调递减

C．f(x)在(0, )上单调递增  D．f(x)在(0, )上单调递减

9. 难度：中等

设点P是双曲线与圆x²＋y²＝a²＋b²的一个交点，F₁, F₂分别是双曲线的左、右焦点，且||＝||，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．＋1 C． D．2

10. 难度：困难

已知正方形OABC的四个顶点O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)，设u＝2xy,v＝x²－y²，是一个由平面xOy到平面uOv上的变换，则正方形OABC在这个变换下的图形是（    ）

二、填空题

11. 难度：简单

如图是容量为200的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[10,14]内的频数为    。

12. 难度：困难

函数f(x)＝2＋log_ax(a＞0, a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－3＝0上，其中mn＞0，则的最小值为           。

13. 难度：简单

设a∈{1,2,3},b∈{2,4,6}，则函数y＝是减函数的概率为   。

14. 难度：中等

过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜,则椭圆的离心率的取值范围是    。

15. 难度：困难

定义在R上的函数f(x)及其导函数f'(x)的图像都是连续不断的曲线，且对于实数a, b (a＜b)有f'(a)＞0,f'(b)＜0，现给出如下结论：

①$x₀∈[a,b],f(x₀)＝0；②$x₀∈[a,b],f(x₀)＞f(b)；

③"x₀∈[a,b],f(x₀)＞f(a)；④$x₀∈[a,b],f(a)－f(b)＞f' x₀)(a－b).

其中结论正确的有 。

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且1＋＝.

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）已知，求的值。

17. 难度：中等

某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取甲、乙两种方法培育的树苗各10株，测量其高度，得到的茎叶图如图所示（单位：cm）.

（Ⅰ）依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大？

（Ⅱ）现从用两种方法培育的高度不低于80cm的树苗中随机抽取两株，求至少有一株是甲方法培育的概率。

18. 难度：困难

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F,G,H分别为BP,BE,PC的中点。

（Ⅰ）求证：平面FGH⊥平面AEB；

（Ⅱ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

19. 难度：困难

已知函数f(x)＝x²－(a－1)x－b－1，当x∈[b, a]时，函数f(x)的图像关于y轴对称，数列的前n项和为S_n，且S_n＝f(n).

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设,T_n＝b₁＋b₂＋＋b_n，若T_n＞2^m，求m的取值范围。

20. 难度：困难

已知椭圆C：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k₁,k₂,且k₁＋k₂＝2，证明：直线AB过定点(―1,―1)

21. 难度：压轴

已知函数f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0)

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）当a＞0时，讨论的单调性；

(Ⅲ）若对任意的a∈(2,3)，x­₁,x₂∈[1,3]，恒有成立，求实数m的取值范围。