2013-2014学年江西赣州四所重点中学高三上学期期末联考理数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知x,y∈R,i为虚数单位，且，则(1＋i)^x＋y的值为（    ）

A．4          B．－4          C．4＋4i       D．2i

2. 难度：简单

下列命题中正确的是（    ）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题

B．“sinα＝”是“α＝”的充分不必要条件

C．l为直线，α,β为两个不同的平面，若l⊥β,α⊥β,则l∥α

D．命题“"x∈R,2^x＞0”的否定是“$x₀∈R,≤0”

3. 难度：简单

平面α∥平面β，点A,C∈α,B,D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（    ）

A．AB∥CD            B．AD∥CB

C．AB与CD相交       D．A,B,C,D四点共面

4. 难度：中等

已知向量a,b的夹角为60°，且|a|＝2,|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于（    ）

A．150°       B．90°        C．60°      D．30°

5. 难度：中等

一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是（    ）

A．          B．＋6       C．11π       D．＋3

6. 难度：简单

过抛物线y²＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。若|AF|＝3，则△AOB的面积为（    ）

A．              B．           C．             D．2

7. 难度：中等

已知函数f(x)＝ax³＋x²在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝。程序框图如图所示，若输出的结果S＝，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（    ）

A．n≤2013   B．n≤2014        C．n＞2013     D．n＞2014

8. 难度：简单

已知双曲线的左焦点为F₁，左、右顶点分别为A₁、A₂，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF₁，A₁A₂为直径的两个圆的位置关系为（    ）

A．相交        B．相切        C．相离      D．以上情况都有可能

9. 难度：困难

已知函数f(x)＝－1的定义域是[a,b](a,b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a,b)共有（    ）

A．2个    B．5个      C．6个       D．无数个

10. 难度：中等

设D＝{(x,y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为（    ）

二、填空题

11. 难度：中等

设O为坐标原点，C为圆(x－2)²＋y²＝3的圆心，且圆上有一点M(x,y)满足·＝0，则＝        。

12. 难度：中等

已知f(n)＝1+(n∈N*)，经计算得f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3,f(32)＞,……，观察上述结果，则可归纳出一般结论为      。

13. 难度：简单

给出下列四个命题：①函数y＝2cos²(x＋)的图像可由曲线y＝1＋cos2x向左平移个单位得到；②函数y＝sin(x＋)＋cos(x＋)是偶函数；③直线x＝是曲线y＝sin(2x＋)的一条对称轴；④函数y＝2sin²(x＋)的最小正周期是2π.

其中不正确命题的序号是        。

14. 难度：中等

随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于的概率为         。

15. 难度：简单

已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和(t∈R)，它们的交点坐标为              。

16. 难度：困难

设函数f(x)＝|x―a|―2，若不等式|f(x)|＜1的解为x∈(－2,0)∪(2,4)，则实数a＝          。

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f(x)＝2cos²x―sin(2x―).

（Ⅰ）求函数的最大值，并写出取最大值时x的取值集合；

（Ⅱ）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)＝,b＋c＝2，求实数a的最小值。

18. 难度：简单

某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为。

（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率P₁；

（2）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数学期望。

19. 难度：困难

已知函数(为常数，且)，且数列是首项为4，公差为2的等差数列。

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）若，当时，求数列的前n项和。

20. 难度：困难

如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁、O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD上的射影是O。

（Ⅰ）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；

（Ⅱ）若∠A₁AB＝60°，求平面BAA₁与平面CAA₁的夹角的余弦值。

21. 难度：困难

如图，设F(－c,0)是椭圆的左焦点，直线l：x＝－与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B。

①证明：∠AFM＝∠BFN；

②求△ABF面积的最大值。

22. 难度：困难

已知函数f(x)＝在x＝0，x＝处存在极值。

（Ⅰ）求实数a,b的值；

（Ⅱ）函数y＝f(x)的图象上存在两点A,B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；

(Ⅲ）当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根个数。