2015届安徽合肥一中高二上学期第一次月考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

垂直于同一条直线的两条直线一定（  ）

A.平行        B.相交      C.异面           D.以上都有可能

2. 难度：中等

过直线外两点作与直线平行的平面，可以作（  ）

A．1个          B．1个或无数个

C．0个或无数个  D．0个、1个或无数个

3. 难度：中等

下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是（  ）

A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形

B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同

C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形

D.水平放置的圆的直观图是椭圆

4. 难度：中等

正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S₁和S₂则(　　)

A．S₁＝2S₂   B．S₁＝3S₂     C．S₁＝4S₂  D．S₁＝2S₂

5. 难度：中等

一个棱柱是正四棱柱的条件是(  　　)

A．底面是正方形，有两个侧面是矩形

B．每个侧面都是全等矩形的四棱柱

C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

D．底面是正方形，有两个相邻侧面垂直于底面

6. 难度：中等

已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA₁＝12.则球O的半径为(　　)

A.  B．2  C.  D．3

7. 难度：中等

关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是(　　)

A若a∥M，b∥M，则a∥b

B若a∥M，b⊥a，则b⊥M

C若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M

D若a⊥M，M∥N，则a⊥N

8. 难度：中等

给出下列命题

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直

②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行

③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直

④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直

其中正确命题的个数为（    ）

A．0个       B．1个   C．2个     D．3个

9. 难度：中等

如图，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（   ）

10. 难度：中等

有一个长方体容器,装的水恰好占其容积的一半；表示水平的桌面,容器一边紧贴桌面，沿将其翻转使之倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的交点分别是（如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是，翻转过程中水和容器接触面积为,则下列说法正确的是（   ）

A．是棱柱，逐渐增大

B．是棱柱，始终不变

C．是棱台，逐渐增大

D．是棱台，始终不变

二、填空题

11. 难度：中等

如图所示，是平面图形的直观图，则的面积是       

12. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

13. 难度：中等

如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(经过圆锥旋转轴的截面中两条母线的夹角)是              

三、选择题

14. 难度：中等

关于图中的正方体，下列说法正确的有： ___________．

①点在线段上运动，棱锥体积不变；

②点在线段上运动，直线AP与平面所成角不变；

③一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；

④一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；

⑤平面截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面在平面与平面间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。

四、填空题

15. 难度：中等

如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为

五、解答题

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，为的中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面；

17. 难度：困难

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（1）证明：MB平面PAD；

（2）求点A到平面PMB的距离．

18. 难度：困难

如图所示，在直棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA₁＝3.

(1)证明：AC⊥B₁D；

(2)求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

19. 难度：困难

如图所示，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E为棱AA₁的中点．

(1)证明：B₁C₁⊥CE；

(2)设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为.求线段AM的长．