2013-2014学年广东珠海高三上学期期末学生学业质量监测理数学卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设全集，集合，，则（　　）

A.                  B.                  C.                     D.

2. 难度：简单

若复数是纯虚数，则实数的值为（　　）

A.                       B.                     C.或                     D.

3. 难度：中等

执行如下图所示的程序框图，则输出的（　　）

A.                       B.                     C.                       D.

4. 难度：简单

学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有人，其频率分布直方图如下图所示，则支出在（单位：元）的同学人数是（　　）

A.                    B.                    C.                     D.

5. 难度：中等

已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么（     ）

A.                    B.                     C.                      D.

6. 难度：简单

在中，，则等于（　　）

A.                B.                 C.                D.

7. 难度：中等

一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（　　）

A.                       B.                       C.                        D.

8. 难度：困难

对定义域为的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得当时，恒成立，则称函数在有一个宽度为的通道.有下列函数：①；②；③；④.其中在上通道宽度为的函数是（　　）

A.①③                      B.②③                       C.②④                     D.①④

二、填空题

9. 难度：简单

已知，则           .

10. 难度：简单

已知数列的前项和为，且，则             .

11. 难度：中等

变量、满足线性约束条件，则使目标函数取得最大值的最优解有无数个，则的值为              .

12. 难度：中等

曲线在点处的切线方程为                   .

13. 难度：中等

定义在上的函数满足，则        .

14. 难度：简单

已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：，则圆截直线所得弦长为                .

15. 难度：中等

如图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，若，，则           .

三、解答题

16. 难度：中等

已知，.

（1）求的值；

（2）当时，求的最值.

17. 难度：中等

是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区年上半年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本，监测值如下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.

（1）在这天的日均监测数据中，求其中位数；

（2）从这天的数据中任取天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列及数学期望；

（3）以这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，四边形为矩形，若，，.

（1）求证：面；

（2）求二面角的余弦值；

19. 难度：困难

已知数列的各项都是正数，且对任意都有，其中为数列的前项和.

（1）求、；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

20. 难度：压轴

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；

（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

21. 难度：困难

已知椭圆的左、右焦点分别为、，为原点.

（1）如图1，点为椭圆上的一点，是的中点，且，求点到轴的距离；

（2）如图2，直线与椭圆相交于、两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．