2013-2014学年广东省“十二校”高三第2次联考文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设，若（为虚数单位）为正实数，则(     )

A．2              B．1              C．0              D．

2. 难度：简单

已知，则（      ）

A．    B．   C．   D．

3. 难度：简单

下列命题中的假命题是（   ）

A．

B．“”是“”的充分不必要条件

C．

D．若为假命题，则、均为假命题

4. 难度：中等

若直线不平行于平面，且，则(     )

A.内的所有直线与异面      B.内存在唯一的直线与平行

C.内不存在与平行的直线    D.内的直线都与都相交

5. 难度：中等

在等差数列中，，则的值是（    ）

A．24       B． 48       C．96      D．无法确定

6. 难度：中等

某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的值是（    ）

A．63       B．31        C．27        D．15

7. 难度：困难

动圆经过双曲线左焦点且与直线相切，则圆心的轨迹方程是（    ）

A．        B．    C．     D．

8. 难度：中等

是所在的平面内的一点，且满足，则的形状一定为（    ） 

A．正三角形      B.直角三角形     C.等腰三角形      D.斜三角形

9. 难度：中等

已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点，则的最大值为 (     )

A. 6      B.           C.4      D.2

10. 难度：中等

已知是函数的零点，若，则的值满足（    ）

A．      B．

C．      D．的符号不能确定

二、填空题

11. 难度：中等

某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是                

12. 难度：中等

在中，、、分别是角A、B、C所对的边，，则的面积S=______．

13. 难度：中等

已知实数，函数，若，则的值为________.

14. 难度：中等

已知点P是曲线为参数，上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点的直角坐标为                   ．

15. 难度：中等

如图，和相交于两点，过作两圆的切线分别交两圆于、两点，连接、，已知，，则              ．

三、解答题

16. 难度：困难

已知函数．

（1）求函数的最小正周期和值域；

（2）若函数的图象过点，.求的值．

17. 难度：中等

为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图3所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.

（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；

（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；

（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.

18. 难度：困难

一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图4所示，其中，，，．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

19. 难度：困难

已知数列（常数），其前项和为 （）

（1）求数列的首项，并判断是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由；

（2）令的前n项和，求证：

20. 难度：困难

如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点， 的周长为8，且面积最大时，为正三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，证明：点在以为直径的圆上.

21. 难度：中等

若函数在上为增函数（为常数），则称为区间上的“一阶比增函数”，为的一阶比增区间.

(1) 若是上的“一阶比增函数”，求实数的取值范围；

(2) 若  (，为常数)，且有唯一的零点，求的“一阶比增区间”；

(3)若是上的“一阶比增函数”，求证：，