上海市2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合，则____________

2. 难度：简单

若为纯虚数（是虚数单位），其中，则________

3. 难度：简单

高为，体积为的圆柱的侧面展开图的周长为___________．

4. 难度：简单

现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是  ▲ ．

5. 难度：简单

过点的直线与圆相交于两点，当弦的长取最小值

时，直线的倾倒角等于___________．

6. 难度：简单

在展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）

7. 难度：中等

若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．

8. 难度：简单

抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.

9. 难度：中等

设，且，则的最小值等于____

10. 难度：困难

已知平面上的线段及点，任取上的一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记为，设，，，，，，若满足，则关于的函数解析式为________

11. 难度：中等

在平面内，不共线的四个定点、、、满足，且、、两两夹角相等，动点、分别满足，，则的取值范围为________

12. 难度：困难

凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．如图，在凸四边形中，，，，当变化时，对角线的最大值为________

二、单选题

13. 难度：中等

设，则“”是“恒成立”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 难度：简单

已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先将的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的图象的一条对称轴方程为（ ）

A. B. C. D.

15. 难度：中等

设、满足约束条件的可行域为，若存在正实数，使函数的图象经过区域中的点，则这时的取值范围（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：中等

已知实数同时满足：（1），其中是边延长线上一点；（2）关于的方程在上恰有两解，则实数的取值范围是（    ）

A.或 B.

C. D.或

三、解答题

17. 难度：中等

在三棱锥中，已知平面平面，是底面最长的边，三棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形；

（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整（其中点在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；

（2）求点到面的距离；

18. 难度：中等

已知

（1）设是周期为的偶函数，求；

（2）若在上是增函数，求的最大值；并求此时在的取值范围.

19. 难度：困难

已知首项大于0的等差数列的公差，且；

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，，，其中；

①求数列的通项；

②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

20. 难度：困难

一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

21. 难度：困难

定义符号函数，已知函数.

（1）已知，求实数的取值集合；

（2）当时，在区间上有唯一零点，求的取值集合；

（3）已知在上的最小值为，求正实数的取值集合；