河北省2019-2020学年高三年级上学期12月月考理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（    ）

A.1 B.-1 C. D.

2. 难度：简单

已知集合，，则=（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

函数的图像大致为 (　　)

A.  B.

C.  D.

4. 难度：简单

石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（    ）种

A.12 B.24 C.36 D.72

5. 难度：简单

若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

若，则二项式的展开式中的常数项为（    ）

A.6 B.12 C.60 D.120

7. 难度：简单

如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e₁，e₂，e₃，e₄，其大小关系为(　　)

A.e₁<e₂<e₃<e₄ B.e₂<e₁<e₃<e₄

C.e₁<e₂<e₄<e₃ D.e₂<e₁<e₄<e₃

8. 难度：简单

在正方体中，M、N分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A.向右平移个长度单位 B.向左平移个长度单位

C.向右平移个长度单位 D.向左平移个长度单位

10. 难度：中等

已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则使不等式成立的x的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

己知函数，，若存在实数，使得，且，则实数m的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知数列满足，，关于该数列有下述四个结论：

①，使得；

②，都有；

③使得成立的一个充分不必要条件为；

④设函数，为的导函数，则不等式有无穷多个解.

其中所有正确结论的编号为（    ）

A.②④ B.②③ C.②③④ D.①③④

二、填空题

13. 难度：简单

抛物线的准线方程为______.

14. 难度：中等

已知数列满足则的最小值为__________.

15. 难度：中等

若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为______________.

16. 难度：中等

在平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为________________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且.

（1）求角B的大小；

（2）若，，求的面积.

18. 难度：中等

已知数列满足，且，数列为正项等比数列，且，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，，求证：.

19. 难度：中等

如图，已知四棱锥，底面为菱形， 平面，，E，F分别是，的中点.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

20. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，过椭圆E的左焦点且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P，Q两点，O为坐标原点，的面积为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）点M，N为椭圆E上不同两点，若，求证：的面积为定值.

21. 难度：中等

已知函数，

（1）当时，求的单调区间；

（2）当，讨论的零点个数；

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线（为参数，且）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线经过点.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点N到直线l的距离的最小值，以及此时点N的坐标.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）记的最大值为m，且正实数a，b满足，求的最小值.