2020届江西省南昌市高三上学期期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知i为虚数单位，，则关于复数z的说法正确的是（    ）

A. B.z对应复平面内的点在第三象限

C.z的虚部为 D.

3. 难度：简单

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据右表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为( )

A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5

4. 难度：简单

已知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知命题：；命题：，且的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（   ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

正项等比数列中，的等比中项为，令，则（   ）

A. 6 B. 16 C. 32 D. 64

7. 难度：简单

已知满足对任意，都有成立，那么的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（    ）

A.36 B.45 C.54 D.63

10. 难度：简单

已知三棱锥A-BCD的顶点均在球O的球面上，且，若H是点A在平面BCD内的正投影，且，则球O的体积是（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

（江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测）若双曲线的渐近线与抛物线相切，且被圆截得的弦长为，则

A. B.

C. D.

12. 难度：中等

函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则（    ）

A.-2 B.2 C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

的展开式中，的系数为____.

14. 难度：简单

设，向量，且，，则_____.

15. 难度：简单

由不等式组 确定的平面区域记为，由不等式组 确定的平面区域记为，若在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为________.

16. 难度：中等

已知圆，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是______．

三、解答题

17. 难度：中等

已知是递增的等比数列，若，且成等差数列.

（1）求的前项和；

（2）设，且数列的前项和为，求证：.

18. 难度：中等

如图1，在矩形中，，为垂足，在上，将沿折起，使点到点的位置，连，且，如图2.

（1）求证：平面；

（2）求钝二面角的余弦值.

19. 难度：中等

某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家队的平均分比队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”.

（1）主持人从队所有选手成绩中随机抽取2个，求至少有一个为“晋级”的概率；

（2）主持人从两队所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期望.

20. 难度：中等

已知顶点为原点的抛物线C的焦点与椭圆的上焦点重合，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若抛物线上不同两点A，B作抛物线的切线，两切线的斜率，若记AB的中点的横坐标为m，AB的弦长，并求的取值范围.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

22. 难度：简单

已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.

（1）求圆C的标准方程；

（2）直线l与圆C交于A，B两点，，求.

23. 难度：中等

已知函数，函数.

（1）当时，求实数x的取值范围；

（2）当与的图象有公共点，求实数m的取值范围.