2020届重庆南开中学高三第三次教学质量检测考试数学文科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数为纯虚数，则实数（    ）

A.4 B.3 C.2 D.1

3. 难度：简单

已知两条直线与垂直，则（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知，且，则实数（    ）

A.-1 B.1 C.3 D.2

5. 难度：简单

“”是直线不过第二象限的（    ）

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

正方体，，分别为,中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（    ）

A.150 B.167 C.184 D.201

8. 难度：简单

设实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

若直线与相切，则实数（    ）

A.2 B. C. D.

10. 难度：简单

已知点是区域内任意一点，且仅在处取得最大值，则的范围为（    ）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

抛物线与过点的直线交于，，若存在横坐标为2的点满足，则的最大值为（    ）

A.2 B.3 C. D.

12. 难度：中等

由排成的数表如下：

数表中每一行均构成等差数列，各行的首项构成公比为2的等比数列；且第行的末项恰为前行的首项的和（例如）.若有，则的前项和为（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

数列满足满足，，则________.

14. 难度：简单

已知正实数，满足，则的最小值为________.

15. 难度：简单

已知函数在处取得最大值，则________.

16. 难度：中等

已知非零平面向量，，满足，，且，则的最大值为________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，且.

（1）求；

（2）若，，求的面积

18. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列的前项和为，，，成等比数列，且.

（1）求；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

19. 难度：简单

某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g）作为质量指标值．由检测结果得到如下频率分布直方图．

分组	频数	频率
	8
	16	0.16
	4	0.04
合计	100	1

（1）求图中的值；

（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间和内为合格品，重量在区间内为优质品．已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元．以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布．若这批零件共件，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出．仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由．

20. 难度：中等

已知离心率为的椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴顶点的动点.当轴时，面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）的内角平分线交轴于，求的取值范围.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）讨论函数的极值点；

（2）若极大值大于1，求的取值范围.

22. 难度：中等

在极坐标系中，圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，过圆的圆心作倾斜角的直线.

（1）写出圆的普通方程和直线的参数方程；

（2）直线分别与，轴交于，，求最大值和面积的最小值.

23. 难度：中等

.

（1）若，求的取值范围；

（2）设（1）中的最小值为，若,，求证：.