福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末）数学理试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（   ）

A. B. C. D.2

2. 难度：简单

设集合，，则=(     )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知等比数列满足，，则(     )

A. B. C. D.

4. 难度：中等

若满足，则的最大值为（）

A.2 B.5 C.6 D.7

5. 难度：简单

一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(     )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的 (     )

A.25 B.45 C.60 D.75

7. 难度：简单

若、为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）

A.且 B.且 C.且 D.且

8. 难度：中等

若实数，，满足，则，，的大小关系是(     )

A.<< B.<<

C.<< D.<<

9. 难度：中等

已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点交于点，若的面积为2，则的值为(     )

A.或 B. C. D.

10. 难度：中等

已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点．若，则的值为(     )

A. B. C. D.

11. 难度：困难

已知函数的周期为，,分别是函数的图像与轴相邻的两个交点，点在函数的图像上，且满足，则的值为(     )

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知函数，以下四个命题：

①当时，函数存在零点；  

②当时，函数没有极值点；

③当时，函数在上单调递增；  

④当时，在上恒成立．

其中的真命题为(     )

A.②③ B.①④ C.①② D.③④

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量，，若，则=_______．

14. 难度：简单

已知定义在R上的奇函数满足，且则=_______．

15. 难度：简单

若，则_______．

16. 难度：困难

在棱长为4的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线，的距离之差为2．设的中点为，则的最小值为_______．

三、解答题

17. 难度：中等

已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；     

（2）设，求数列的前项和．

18. 难度：中等

如图，矩形平面，，，且，分别为，的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的大小．

19. 难度：中等

的内角，，的对边分别为，，，且，．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，为中点，求的取值范围．

20. 难度：困难

已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线与椭圆交于，两点，的周长为8．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）问：的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．

21. 难度：困难

已知函数．

（1）若，曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

（2）若，且函数的值域为，求的最小值．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，直线的极坐标方程为，直线交圆于两点，为中点.

（1）求点轨迹的极坐标方程；

（2）若，求的值.

23. 难度：中等

已知在R上恒成立.

（1）求的最大值；

（2）若均为正数，且,求的取值范围.