上海市杨浦区2017届高三上学期期末质量调研数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

若“”，则“”是________命题．（填：真、假）

2. 难度：简单

已知，，若，则的取值范围是_________.

3. 难度：简单

（为虚数单位），则________

4. 难度：中等

    若△ABC中，a＋b＝4，C＝30°，则△ABC面积的最大值是________．

5. 难度：简单

若函数的反函数的图象过点，则_______

6. 难度：简单

过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是     ．

7. 难度：简单

抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作、、，则（为虚数单位）是方程的根的概率是___________．

8. 难度：简单

设常数，展开式中的系数为，则_______

9. 难度：中等

已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.

10. 难度：简单

若双曲线的一条渐近线为，且双曲线与抛物线的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为________.

11. 难度：中等

在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是______．

12. 难度：困难

函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在，，…，满足，且，则最小值为__________．

二、单选题

13. 难度：简单

若与都是非零向量，则“”是“”的（    ）条件

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

14. 难度：简单

行列式中，元素7的代数余子式的值为（    ）

A.-15 B.-3 C.3 D.12

15. 难度：中等

一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（　　）

A.5800 B.6000 C.6200 D.6400

16. 难度：简单

若直线通过点，则（ ）

A. B. C. D.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段和88毫米的线段以及圆心为，半径为的一段圆弧构成，其中．

（1）求半径的长度；

（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．（）

18. 难度：中等

如图所示，、是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段.点、在上，且位于点的两侧，在上，．

（1）求证：异面直线与垂直；

（2）若四面体的体积，求异面直线、之间的距离．

19. 难度：困难

如图，过椭圆： 的左右焦点分别作直线， 交椭圆于与，且.

（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时， 为定值；

（2）求四边形面积的最大值.

20. 难度：困难

数列，定义为数列的一阶差分数列，其中．

（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；

（2）若，，求数列的通项公式；

（3）对（2）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．

（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；

（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；

（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．