2020届重庆南开中学高三上学期第四次教学质量检测数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

抛物线的焦点坐标为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知向量，满足，则等于（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

设命题，，则为（    ）

A.， B.，

C.， D.，

4. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

“”是“方程表示双曲线”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

下列有关命题的说法正确的是（    ）

A.命题“若，则”的否命题为“若，则”

B.“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件

C.命题“若，则”的逆否命题为假命题

D.若“或”为真命题，则，至少有一个为真命题

8. 难度：简单

直线被圆截得的弦长为2，则直线的倾斜角为（    ）

A. B.或 C.或 D.或

9. 难度：简单

长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）

A.  B.  C.  D.

10. 难度：中等

已知四棱锥中，平面平面，其中为边长为4的正方形，为等腰三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若直线与垂直，则的值为__________.

14. 难度：简单

已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______．

15. 难度：中等

设、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下面给出四个命题：

①若，，则；②若，，、、则；

③若，，则；④若且，，，则.

其中假命题有_________.（写出所有假命题的序号）

16. 难度：中等

已知抛物线与双曲线有一个公共的焦点，点为抛物线上任意一点，，则的最小值是___________.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，四棱锥底面为矩形，，其中分别为，中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面底面，求证：平面.

18. 难度：中等

已知椭圆的左右焦点分别为，，对于椭圆上任一点，若的取值范围是，

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积.

19. 难度：中等

在三棱柱中，平面，，点、分别在棱、上，且，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且.

（1）求抛物线的方程：

（2）过点的直线与抛物线交于，两点，以线段为直径的圆过，求直线的方程.

21. 难度：中等

如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，，，平面平面，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点.

（1）求证：；

（2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.

22. 难度：困难

已知椭圆的两个焦点，与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过椭圆的左顶点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；

（3）在（2）的条件下求面积的最大值.