2016届上海市杨浦区高考二模（理科）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

函数的定义域是________.

2. 难度：简单

已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数________

3. 难度：简单

计算______.

4. 难度：中等

若向量、满足＝1，＝2，且与的夹角为，则＝_________.

5. 难度：简单

若复数，，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______.

6. 难度：中等

在的展开式中,常数项是______．（用数字作答）

7. 难度：简单

已知的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是______.

8. 难度：中等

已知等比数列的各项均为正数，且满足：，则数列的前7项之和为______.

9. 难度：简单

在极坐标系中曲线C：上的点到距离的最大值为______.

10. 难度：中等

袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以表示取到球中的最大号码，则的数学期望是______.

11. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为,过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点,在直线上,且满足,则        ．

12. 难度：简单

现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______.（用数字作答）

13. 难度：困难

若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______.

14. 难度：困难

现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图），其体积等于______．

二、单选题

15. 难度：简单

下列函数中，既是奇函数，又在区间上递增的是（    ）

A. B.

C. D.

16. 难度：简单

已知直线l的倾斜角为，斜率为k，则“”是“”的（    ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

17. 难度：中等

设x,y,z是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）

A.

B.

C.

D.

18. 难度：中等

已知命题：“若，为异面直线，平面过直线且与直线平行，则直线与平面的距离等于异面直线，之间的距离”为真命题.根据上述命题，若，为异面直线，且它们之间的距离为，则空间中与，均异面且距离也均为的直线的条数为（    ）

A.0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条

三、解答题

19. 难度：简单

如图，底面是直角三角形的直三棱柱中，，D是棱上的动点.

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积.

20. 难度：中等

某菜农有两段总长度为米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）已知（米），，，设，四边形的面积为.

（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；

（2）求出的最大值，并指出此时所对应的值.

21. 难度：困难

已知函数，其中.

（1）根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由；

（2）已知，函数的反函数为，若函数在区间上的最小值为，求函数在区间上的最大值.

22. 难度：困难

已知椭圆C：（）的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于、，且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；

（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线、、都具有性质H.

23. 难度：困难

已知数列和满足：，，，且对一切，均有.

（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和；

（3）设（），记数列的前n项和为，问：是否存在正整数，对一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整数的值；若不存在，请说明理由.