2019届天津市、益中学校高三年级四月考试数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：中等

设实数x，y满足条件 ，则的最大值是　　

A. B. C.4 D.7

3. 难度：简单

给出如下三个命题：

①“”是“”的必要不充分条件：

②命题“若，则”的否命题为“若，则"；

③“，”的否定是“，”；

其中正确的命题的个数是（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

4. 难度：中等

执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

若，，，则实数的大小关系为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 难度：中等

己知双曲线左支上点与右焦点关于渐近线对称，且，则该双曲线的方程为

A.  B.  C.  D.

7. 难度：困难

将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

8. 难度：中等

如图，在中，，，，，点M在CD的延长线上，点P是边BC上的一点，且存在非零实数λ，使，则与的数量积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

9. 难度：简单

若为纯虚数，其中，则等于________

10. 难度：中等

函数f（x）=ax³+x+1在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，则a=_____．

11. 难度：中等

如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.

12. 难度：中等

过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为______________.

13. 难度：中等

已知，若，则的最小值为_______．

14. 难度：困难

已知函数有4个零点，则实数的取值范围是__________．

三、解答题

15. 难度：中等

如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图.

（1）求分数在的频率及全班人数；

（2）求频率分布直方图中的；

（3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率.

16. 难度：中等

已知函数

（1）求的最小正周期T；

（2）的单调递减区间；

（3）在ABC中，内角A､B､C､所对的边分别是a､b､c.若，且面积.求的值.

17. 难度：中等

在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；

（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

18. 难度：中等

已知正项等比数列，等差数列满足，且是与的等比中项.

（1）求数列的通项公式； 

（2）设，求数列的前项和.

19. 难度：困难

如图已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，.

（Ⅰ）求椭圆的方程：

（Ⅱ）设为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.

20. 难度：困难

已知函数，a为常数.

（1）讨论函数的单调性：

（2）若函数有两个极值点，且，求证：.