2020届北京市高三上学期8月开学数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，集合，则（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

已知平面向量的夹角为则（    ）

A. 2    B.     C.     D.

4. 难度：简单

为了得到函数的图像，只需把的图像上所有的点（    ）．

A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

5. 难度：简单

下列函数中，同时满足：①图像关于轴对称；②，的是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

7. 难度：困难

算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：

如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（    ）

A.

B.

C.

D.

8. 难度：中等

在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（　　）

A.有最小值 B.有最大值 C.为定值3 D.为定值2

二、填空题

9. 难度：简单

在复平面内，复数对应的点到原点的距离为_________．

10. 难度：中等

的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

11. 难度：简单

某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥表面的四个三角形中，等腰三角形的个数为______.

12. 难度：中等

已知的最小值是_______.

13. 难度：中等

如图所示，平行四边形中，，，是中点，那么向量与所成角的余弦值等于______.

14. 难度：困难

已知函数.

①当时，若函数有且只有一个极值点，见实数的取值范围是______；

②若函数的最大值为1，则______.

三、解答题

15. 难度：中等

在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量=(cos(A—B)，sin(A—B)),向量=(cosB，—sinB),且

(1)求sinA的值；   

(2)若求角B的大小及向量在方向上的投影.

16. 难度：中等

已知某校中小学生人数和近视情况分别如图所示.为了解该校中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方式从中抽取一个容量为50的样本进行调查.

（1）求样本中高中生、初中生及小学生的人数；

（2）从该校初中生和高中生中各随机抽取1名学生，用频率估计概率，求恰有1名学生近视的概率；

（3）假设高中生样本中恰有5名近视学生，从高中生样本中随机抽取2名学生，用表示2名学生中近视的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

17. 难度：中等

如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

18. 难度：中等

已知函数.

（Ⅰ）当时,（i）求曲线在点处的切线方程;

（ii）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若,求证:.

19. 难度：困难

已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，.对于函数，若存在且，使得，则称函数是“和谐”函数.

（1）判断函数，是否是“和谐”函数；（只需写出结论）

（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为，若不是“和谐”函数，求的最小值.

（3）若函数是“和谐”函数，求的取值范围.