重庆市2018-2019学年高二下学期期中（理）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知复数（是虚数单位），则（是的共轭复数）的虚部为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

汽车以(单位：)作变速直线运动时，在第至第间的内经过的位移是(    )

A. B. C. D.

3. 难度：中等

由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“”类比得到“”；

②“”类比得到“”；

③“”类比得到“”．

以上式子中，类比得到的结论正确的个数是

A.0 B.1

C.2 D.3

4. 难度：简单

从图示中的长方形区域内任取一点，则点取自图中阴影部分的概率为(    )

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（  ）打碎了玻璃．

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

6. 难度：简单

已知有极大值和极小值，则a的取值范围为

A.  B.

C.  D.

7. 难度：中等

我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为(   )

A.4072 B.2026 C.4096 D.2048

8. 难度：困难

函数的定义域为，，对，有，则不等式的解集为（ ）

A. B.

C.或 D.或

9. 难度：困难

若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是(  )

A. B. C. D.

10. 难度：中等

若函数有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是（  ）

A. B.或

C. D.或

11. 难度：中等

若函数的图象上存在两个点关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好有两个“友情点对”，则实数的值为（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

若实数满足，则的最小值为

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若，且，则__________．

14. 难度：中等

已知，则_________.

15. 难度：简单

设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x²＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________ J(x的单位：m；力的单位：N)．

16. 难度：困难

若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______

三、解答题

17. 难度：简单

已知复数.当实数取什么值时，复数是：

（1）纯虚数；

（2）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.

18. 难度：中等

（1）求证：

（2）已知，，且，求证：和中至少有一个小于2.

19. 难度：中等

用一根长为分米的铁丝制作一个长方体框架(由12条棱组成),使得长方体框架的底面长是宽的倍．在制作时铁丝恰好全部用完且损耗忽略不计．现设该框架的底面宽是分米,用表示该长方体框架所占的空间体积(即长方体的体积)．

（1）试求函数的解析式及其定义域；

（2）当该框架的底面宽取何值时,长方体框架所占的空间体积最大,并求出最大值．

20. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；

22. 难度：困难

已知函数，.

（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围;

（Ⅱ）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）.