2020届内蒙古赤峰市高三上学期期末试卷理科数学

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合,,则集合(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数为纯虚数,i是虚数单位,则实数(   )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

下表是某城市在2019年1月份至10月份各月最低温与最高温(℃)的数据表,已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该表,则下列结论错误的是(    )

月份	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
最高温	5	9	9	11	17	24	27	30	31	21
最低温			1		7	17	19	23	25	10

A.最低温与最高温为正相关

B.每月最低温与最高温的平均值在前8个月逐月增加

C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月

D.1至4月温差(最高温减最低温)相对于7至10月,波动性更大

4. 难度：中等

设函数,则下列结论正确的是(    )

A.的最小正周期为 B.的一个零点为

C.在上单调递增 D.的图象关于直线对称

5. 难度：中等

函数的图象大致是(    )

A.

B.

C.

D.

6. 难度：简单

设、、表示三个不同的平面,表示三条不同的直线,则的一个充分条件是(    )

A., B.,

C.,,, D.,

7. 难度：简单

已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则

A.＜ B.π＜3 C.＞ D.π＞3

8. 难度：中等

已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,,过的直线交双曲线右支于两点,且,若,则该双曲线离心率(    )

A. B. C. D.

9. 难度：中等

设抛物线C:()焦点为F,点M在C上,且,若以MF为直径的圆过点,则C的方程为(    )

A.或 B.或

C.或 D.或

10. 难度：简单

“猜想”是指对于每一个正整数,若为偶数,则让它变成;若为奇数,则让它变成.如此循环,最终都会变成,若数字按照以上的规则进行变换,则变换次数为偶数的频率是(    )

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在三棱锥中,与均为边长为的等边三角形,四点在球的球面上,当三棱锥的体积最大时,则球的表面积为(    )

A. B. C. D.

12. 难度：困难

设曲线:()上一点,曲线:上一点,当时,对于任意、,都有恒成立,则的最小值为(    )

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

设,,是单位向量,,,,的夹角为,则______.

14. 难度：简单

关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请名同学,每人随机写下一个都小于的正实数对,再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是那么可以估计______.

15. 难度：中等

现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为______条．

16. 难度：中等

已知等差数列中,首项,公差,若成等比数列,且,,,则数列的通项公式是______.

三、解答题

17. 难度：简单

的内角所对的边分别为且满足.

（1）求的值;

（2）若角,,求的周长.

18. 难度：简单

如图,在四棱锥中,平面,是平行四边形,,交于点是上一点.

（1）求证:;

（2）已知二面角的余弦值为,若为的中点,求与平面所成角的正弦值.

19. 难度：简单

在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组,在某一个社区设计了一个调查:在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间.如果这个社区共有成人按10000人计算,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国APP”的概率均为(某人在某一时刻打开“学习强国”的概率,),并且是否打开进行学习是彼此相互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位:min),得到下面的频数表,以样本中100名成人的平均学习时间作为该社区每个人的学习时间.

学习时长/min
频数	10	20	40	20	10

（1）试估计的值;

（2）设表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数.

①求的数学期望和方差;

②若随机变量满足,可认为.假设当时,表示社区处于最佳的学习氛围,试由此估计,该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数).

附:若,则,,.

20. 难度：中等

已知椭圆:()经过点和.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）过的直线交椭圆于两点,若分别为的最大值和最小值,求的值.

21. 难度：困难

已知函数,为常数,当时,有三个极值点,,(其中).

（1）求实数的取值范围;

（2）求证:.

22. 难度：中等

在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴所在直线为轴建立直角坐标系，曲线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点，，为直线上任意一点，点在射线上运动，且．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）求点轨迹围成的面积．

23. 难度：中等

设函数,,存在实数,使得成立.

（1）求不等式的解集:

（2）若,,且满足,求证:.