2020届福建省高三12月月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若是虚数单位，且复数为实数，则实数等于（   ）

A. B. C. D.2

2. 难度：中等

已知，，，则的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

设等边三角形的边长为1，平面内一点满足，向量与夹角的余弦值为（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其体积为（  ）

A.  B.  C.  D.

5. 难度：中等

已知抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于、两点,若为直角三角形,其中为直角顶点,则

A.6 B. C. D.

6. 难度：简单

各项均为正数的等差数列{a_n}中，a₄a₉=36，则前12项和S₁₂的最小值为（ ）

A.78 B.48 C.60 D.72

7. 难度：困难

已知函数，且，则实数的值可能是（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

8. 难度：中等

若函数为奇函数，其中，则使不等式成立的的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（   ）

A.  B.  C.  D.

10. 难度：困难

已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是(   )

A.  B.  C.  D.

11. 难度：简单

函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于点则方程所有解的和为（    ）．

A. B. C. D.

12. 难度：中等

如图，棱长为1的正方体中，为线段的动点，则下列4个命题中正确的有（    ）个

（1）    （2）平面平面

（3）的最大值为    （4）的最小值为

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

13. 难度：简单

若，则的值为________

14. 难度：简单

太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.

15. 难度：中等

已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为____．

16. 难度：困难

已知数列的前项和满足：，则为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

在中，是上的点，平分，面积是面积的2倍.

（1）求；

（2）若，，求的长.

18. 难度：中等

已知数列，，其中，，数列的前项和 ，数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前项和.

19. 难度：困难

如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，为线段上一点．

(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

(2)己知，若异面直线与成角，二面角的余弦值为，求的长．

20. 难度：困难

动点到距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为.

（1）求出曲线的方程，并求出的最小值，其中点

（2）是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点；若不存在，请说明理由.

21. 难度：困难

已知定义域为的函数（，）

（1）设，求的单调区间；

（2）设为导数，

（i）证明：当，时，；

（ii）设关于的方程的根为，求证：

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．

（Ⅰ） 写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ） 过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l₁交C于A，B两点，求|AB|．

23. 难度：简单

已知．

(1)解关于的不等式；

(2)对任意正数，求使得不等式恒成立的的取值集合.