2020届上海市青浦区高三一模（期末）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁_U(A∪B)＝________.

2. 难度：简单

若复数（是虚数单位），则的模为________

3. 难度：简单

直线和直线的夹角大小是________

4. 难度：中等

我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则_______

5. 难度：简单

已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则________

6. 难度：简单

已知正四棱柱底面边长为，体积为32，则此四棱柱的表面积为________

7. 难度：中等

设，若，则的最大值为________

8. 难度：中等

已知数列中，，（），则________

9. 难度：中等

某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有________种

10. 难度：中等

已知对于任意给定的正实数，函数的图像都关于直线成轴对称图形，则________

11. 难度：困难

如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________

12. 难度：困难

已知点在双曲线上，点满足（），且，，则的最大值为________

二、单选题

13. 难度：简单

使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )

A. B. C. D.

14. 难度：中等

对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，以下结论正确的是（　　）

A. 若，，m，n是异面直线，则，相交

B. 若，，，则

C. 若，，m，n共面于，则

D. 若，，，，不平行，则m，n为异面直线

15. 难度：中等

过抛物线（）的焦点作两条相互垂直的弦和，则的值为（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：困难

设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（    ）

A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④

三、解答题

17. 难度：简单

如图,在四棱锥中,底面是矩形, 底面,是的中点.已知,,.

求:（1）.三角形的面积;

（2）.异面直线与所成的角的大小.

18. 难度：中等

已知向量，，其中，记.

（1）若函数的最小正周期为，求的值；

（2）在（1）的条件下，已知△的内角、、对应的边分别为、、，若，且，，求△的面积.

19. 难度：困难

某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（单位：万元），记第个月的当月利润率为，例.

（1）求第个月的当月利润率；

（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.

20. 难度：困难

已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求△面积的最小值；

（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标.

21. 难度：困难

已知函数的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且，存在，使得，则称具有性质.

（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；

（2）求证：任取，函数，具有性质；

（3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围.