2020届广东省佛山市顺德区高三第一次教学质量检测数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若，则（  ）

A. B.1 C. D.3

2. 难度：中等

设集合，，若，则的取值范围为（  ）

A.  B.

C.  D.

3. 难度：中等

若曲线关于点对称，则（  ）

A.或 B.或 C.或 D.或

4. 难度：中等

若，，则下列不等式一定成立的是（  ）

A.  B.

C.  D.

5. 难度：中等

如图，是圆的一条直径，，是半圆弧的两个三等分点，则（  ）

A. B. C. D.

6. 难度：困难

17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（  ）

A. B. C. D.

7. 难度：困难

若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（  ）

A.  B.  C.  D.

8. 难度：困难

如图，圆的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆经过点，则圆的半径为（  ）

A.  B. 8 C.  D. 10

9. 难度：简单

为了配平化学方程式，某人设计了一个如图所示的程序框图，则①②③处应分别填入（    ）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

10. 难度：中等

2019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元.若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为（  ）

A.20.5 B.21元 C.21.5元 D.22元

11. 难度：困难

在正方体中，，，分别为，，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为；③平面.其中所有正确结论的编号是（  ）

A. ① B. ②③ C. ①② D. ①③

12. 难度：困难

函数在区间上的零点个数为（  ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题

13. 难度：简单

随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为_________.

14. 难度：中等

设，，分别为内角，，的对边.已知，则______.

15. 难度：中等

已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为_____.

16. 难度：困难

如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，且.若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积的最小值为_____；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角的正切值为_______.

三、解答题

17. 难度：中等

在公差为的等差数列中，，，，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，，成等比数列，求数列的前项和.

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中，侧面为菱形，为的中点，为等腰直角三角形，，，且.

（1）证明：平面.

（2）求与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体（这1万名小学生普通话测试成绩）服从正态分布.

（1）从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率；

（2）现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差.

参考数据：若，则，，.

20. 难度：困难

已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线的准线经过椭圆的左焦点.

（1）求椭圆与抛物线的方程；

（2）直线经过椭圆的上顶点且与抛物线交于，两点，直线，与抛物线分别交于点（异于点），（异于点），证明：直线的斜率为定值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论的单调性.

（2）试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知为锐角，直线与曲线的交点为（异于极点），与曲线的交点为，若，求的直角坐标方程.

23. 难度：困难

已知，，为正数，且满足.

（1）证明：.

（2）证明：.