2020届江苏南通市第一次大联考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，则______.

2. 难度：简单

已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_______.

3. 难度：简单

根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为__________.

4. 难度：简单

若样本数据3，4，5，的平均数为4，且，则此样本的方差为_________.

5. 难度：简单

从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则两数之积大于10的概率为_______.

6. 难度：简单

现有一个半径为的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为____.

7. 难度：简单

已知函数的图象关于点对称，则的最小值为_____.

8. 难度：简单

设等差数列的前项和为，若，则的值为_______.

9. 难度：简单

在平面直角坐标系中，设抛物线在点处的切线为.若与该抛物线的准线的交点横坐标为，则的值为_____.

10. 难度：简单

已知是定义在上的奇函数，当时，.则满足不等式的实数的取值范围是______.

11. 难度：简单

已知为正实数，则的最小值为______.

12. 难度：简单

在中，已知，若为中点，且，则____.

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知是圆的直径.若与圆外离的圆上存在点，连接与圆交于点，满足，则半径的取值范围是_________.

14. 难度：困难

已知函数与的零点分别为和.若，则实数的取值范围是______.

二、解答题

15. 难度：简单

如图，在三棱锥中，.为的中点，为上一点，且平面.

求证：（1）平面；

（2）平面平面.

16. 难度：中等

在中，角所对边分别为.已知.

（1）求角的值；

（2）若，求的值.

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上.

 

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆，连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点（均在轴上方）.连接，记的斜率为，的斜率为.

①求的值；

②求证：直线的交点在定直线上.

18. 难度：中等

某生态农场有一矩形地块，地块内有一半圆形池塘（如图所示），其中百米，百米，半圆形池塘的半径为1百米，圆心与线段的中点重合，半圆与的左侧交点为.该农场计划分别在和上各选一点，修建道路，要求与半圆相切.

（1）若，求该道路的总长；

（2）若为观光道路，修建费用是4万元/百米，为便道，修建费用是1万元/百米，求修建观光道路与便道的总费用的最小值.

19. 难度：中等

设为数列的前项和，若（为常数）对任意恒成立.

（1）若，求的值；

（2）若，且.

①求数列的通项公式；

②若数列满足，且，求证：数列为等比数列.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）若函数与有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求的值；

（2）记.

①若在区间（为自然对数底数）上至少存在一点，使得成立，求的取值范围；

②若函数图象存在两条经过原点的切线，求的取值范围.

21. 难度：简单

已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.

22. 难度：简单

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为（为参数），若直线与曲线相交于两点，求弦的长.

23. 难度：简单

已知关于的不等式的解集为，求的最大值.

24. 难度：简单

在某次数学测验中，学号为的四位同学的考试成绩，且满足.

（1）求四位同学的考试成绩互不相同的概率；

（2）设四位同学中恰有位同学的考试成绩为96分，求随机变量的概率分布列及数学期望.

25. 难度：中等

已知.

（1）若，求的值；

（2）求的值.