重庆市2019届高三下学期4月月考（理）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，集合，则为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数满足，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

设函数，则（    ）

A.0 B. C.1 D.2

4. 难度：简单

已知第一象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（    ）

A.得到橘子最多的诸侯比最少的多12个

B.得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人

C.得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12

D.所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24

6. 难度：简单

已知实数满足不等式组，则的最小值为（    ）

A. B. C.1 D.13

7. 难度：简单

为计算，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

某校为高一两个班，高二两个班，高三两个班招聘了甲、乙等6位班主任，若随机安排他们每人担任一个班的班主任，则其中甲、乙两人恰好在同一年级的概率是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

如图所示，网格纸上的小正方形的边长为1，图中粗线的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知为象限角，且满足，则（    ）

A. B.6 C. D.

11. 难度：中等

四棱锥的底面是正方形，平面，且，该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，分别是棱的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

定义在上的偶函数满足，当时，，关于的不等式在上有且只有100个整数解，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

设，，若，则______.

14. 难度：简单

若对任意，恒成立，则的取值范围为______.

15. 难度：困难

已知双曲线的两个焦点分别为，过点作该双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为______.

16. 难度：困难

已知是各项为正数的数列的前项和，且，则______.

三、解答题

17. 难度：简单

的内角所对的边分别是，设且.

（1）求角的大小；

（2）已知函数，函数的值域.

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，，点为的中点.

（1）若平面与平面交于直线，求证：；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

某公司生产一种新产品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图.

（1）用每组区间的中点值代表该组数据，估算这批产品的样本平均数和样本方差的；

（2）从指标值落在的产品中随机抽取2件做进一步检测，设抽取的产品的指标在的件数为，求的分布列和数学期望；

（3）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，近似为样本平均值，近似为样本方差，若产品质量指标值大于236.6，则产品不合格，该厂生产10万件该产品，求这批产品不合格的件数.

参考数据：，，，.

20. 难度：困难

已知椭圆，长轴长为4，，分别为椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的任意一点，面积的最大为，且取得最大值时为钝角.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知圆，点为圆上任意一点，过点的切线分别交椭圆于两点，且，求的值.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论时，函数的单调性；

（2）若，函数有两个零点，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；

（2）直线与直线交于点，与曲线交于两点，求的值.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若，，求证：.