2020届江西省高三上学期摸底调研模拟数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知是虚数单位，则复数（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 难度：简单

如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的，，则输出的（   ）

A.  B.  C.  D.

4. 难度：简单

已知，，且，则向量与的夹角为（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

若实数满足，则的取值范围是（　　）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

设变量满足约束条件，

则的最大值为

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

设，则“”是“”的（　　）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 难度：简单

为了得到函数的图像，可以将的图像（   ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

9. 难度：简单

《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（　　）

A.三分鹿之一 B.三分鹿之二

C.一鹿 D.一鹿、三分鹿之一

10. 难度：中等

已知在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知点F₁，F₂分别是椭圆C₁和双曲线C₂的公共焦点，e₁，e₂分别是C₁和C₂的离心率，点P为C₁和C₂的一个公共点，且，若，则e₁的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

己知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率为_______.

14. 难度：简单

已知数列前项和满足，则______．

15. 难度：困难

已知，，分别是内角，，的对边，，，则周长的最小值为_______.

16. 难度：困难

设二次函数（为实常数）的导函数为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为__________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，，，的对边分别为，，，若，，.

（1）求；

（2）已知在边上，且，求的面积.

18. 难度：中等

十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求:

(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民。若每个农民的年收人相互独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？

附：参考数据与公式

则①；②；③.

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

已知椭圆左顶点为，上顶点为，直线的斜率为．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，与轴交于点，以线段为对角线作正方形，若．

（i）求椭圆方程；

（ii）若点在直线上，且满足，求使得最长时，直线的方程．

21. 难度：困难

已知函数（，为常数）在内有两极值点

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：.

22. 难度：中等

已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点在曲线上运动，动点满足，其轨迹为曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的普通方程；

（2）若点，分别是射线与曲线，的公共点，求的最大值.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，，使得成立，求实数的取值范围.