重庆市校2020届高三下学期2月月考（理科）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，.则（    ）

A. B.

C. D.

2. 难度：简单

（    ）

A. B.

C. D.

3. 难度：中等

设复数，，在复平面内所对应的向量分别为，（为原点），则（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：中等

已知数列为等差数列，为前项和，若，，则（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

若的展开式中常数项等于，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

函数的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：简单

在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知函数的最小值为e，则（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：困难

已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，若函数的图象在，两处的切线都与x轴平行，则的最小值为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：困难

如图，已知是圆的直径，，在圆上且分别在的两侧，其中，.现将其沿折起使得二面角为直二面角，则下列说法不正确的是（    ）

A.，，，在同一个球面上

B.当时，三棱锥的体积为

C.与是异面直线且不垂直

D.存在一个位置，使得平面平面

11. 难度：困难

已知是双曲线：的一个焦点，，是双曲线的两条渐近线，过且垂直的直线与，分别交于，两点，若三角形的面积（为原点），则双曲线的离心率为（    ）

A.或 B.或

C.或 D.或

12. 难度：简单

在四边形中，已知，，，，则四边形面积的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

能说明命题“，，，是实数，若，，则”是假命题的一组数对（，，，）是________.

14. 难度：简单

已知某学校高三年级1500名学生参加某次考试的成绩（单位：分）服从正态分布，估计成绩在120分以上的学生人数有________.附：若～，则，.

15. 难度：简单

设抛物线：，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与抛物线围成的图形面积为，则抛物线的方程为________.

16. 难度：中等

我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为.在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：），根据以上信息，一张长为，厚度为的纸最多能对折___次.

三、解答题

17. 难度：简单

在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:

方案一：每天回报元；

方案二：第一天回报元，以后每天比前一天多回报元；

方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番.

记三种方案第天的回报分别为，，.

（1）根据数列的定义判断数列，，的类型，并据此写出三个数列的通项公式；

（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.

18. 难度：简单

至2018年底,我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位,下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据.

								总计
年代代码	1	2	3	4	5	6	7	28
申请量（万件）	65	82	92	110	133	138	154	774
	65	164	276	440	665	828	1078	3516

注：年代代码1~7分别表示2012~2018.

（1）可以看出申请量每年都在增加,请问这几年中那一年的增长率达到最高,最高是多少？

（2）建立关于的回归直线方程(精确到0.01),并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.

参考公式：.

19. 难度：中等

如图,已知菱形和矩形所在的平面相互垂直,.

（1）若为的中点,求证:∥平面;

（2）若二面角的余弦值为,求.

20. 难度：困难

设椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上.求证：

（1）直线：是椭圆在点处的切线；

（2）从发出的光线经直线反射后经过.

21. 难度：中等

设函数.

（1）证明：，都有；

（2）若函数有且只有一个零点，求的极值.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，射线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.一只小虫从点沿射线向上以单位/min的速度爬行

（1）以小虫爬行时间为参数，写出射线的参数方程；

（2）求小虫在曲线内部逗留的时间.

23. 难度：中等

如图，是半圆直径，为的中点，，在上，且，.

（1）用，表示线段，的长度；

（2）若，，，求的最小值.