2019届北京市高三第二学期入学检测数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知复数满足，为虚数单位，则等于（　　）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

已知圆的极坐标方程为，则其圆心坐标为（　　）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A.4 B.3 C. D.

4. 难度：简单

设, 则 “”是“”的（ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

将一枚硬币连续抛掷次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则的最小值为（     ）

A.4 B.5 C.6 D.7

6. 难度：中等

自点 A（﹣3，4）作圆（x﹣2）²+（y﹣3）²＝1的切线，则A到切点的距离为（    ）

A. B.3 C. D.5

7. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知点是平面区域内的动点, 点为坐标原点, 设的最小值为,若恒成立, 则实数的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

二、填空题

9. 难度：简单

在等差数列中，若,则该数列的通项公式=_____

10. 难度：简单

展开式中的常数项为，则_________．

11. 难度：中等

若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．

12. 难度：简单

经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．

13. 难度：中等

已知非零向量，满足||＝1，与的夹角为30°，则||的最小值是_____．

14. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x²+y²＝1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S_P的定义如下：若P与O重合，S_P＝r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S_P＝AP的长度（如图）．

（1）直线2x+2y+1＝0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为_____；

（2）若线段MN上存在点T，使得：

①点T在⊙O内；

②∀点P∈线段MN，都有S_T≥S_P成立．则线段MN的最大长度为_____．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数，（其中），其部分图像如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）已知横坐标分别为、、的三点都在函数的图像上，求的值．

16. 难度：中等

某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：

编号	项目	收案（件）	结案（件）
	判决（件）
1	刑事案件	2400	2400	2400
2	婚姻家庭、继承纠纷案件	3000	2900	1200
3	权属、侵权纠纷案件	4100	4000	2000
4	合同纠纷案件	14000	13000	n

其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题．

（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；

（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；

（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为，方差为S₁²，如果表中n，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S₂²，试判断S₁²与S₂²的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．

17. 难度：中等

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；

（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

18. 难度：困难

已知椭圆E：y²＝1（m＞1）的离心率为，过点P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA₀垂直于直线x＝4，垂足为A₀．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）求证：直线A₀B恒过定点．

19. 难度：困难

设f（x）＝xe^x﹣ax²﹣2ax．

（Ⅰ）若y＝f（x）的图象在x＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a的值；

（Ⅱ）若f（x）存在极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．

20. 难度：困难

如果无穷数列{a_n}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a_n}具有性质P．

（Ⅰ）若a_n（k∈N*），判断数列{a_n}是否具有性质P，并说明理由，

（Ⅱ）若数列{a_n}具有性质P，求证：{a_n}中一定存在三项a_i，a_j，a_k（i＜j＜k）构成公差为奇数的等差数列；

（Ⅲ）若数列{a_n}具有性质P，则{a_n}中是否一定存在四项a_i，a_j，a_k，a_l，（i＜j＜k＜l）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．