黑龙江省2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

在空间直角坐标系中，点到原点的距离为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知命题，﹔命题，，则下列命题为真命题的是（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

是成立的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.不充分也不必要条件

6. 难度：简单

曲线和围成的封闭面积是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知空间向量，，若，则的值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

命题“，”的否定是（    ）

A.， B.，

C.， D.，

9. 难度：中等

如图所示，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知双曲线的标准方程为，过双曲线的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

函数，当时，恒成立，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

椭圆与双曲线的焦点相同，，分别为左焦点和右焦点，椭圆和双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列选项中正确的是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

抛物线的准线方程是___________________.

14. 难度：简单

已知，满足线性约束条件，则的最小值为________.

15. 难度：简单

计算__________．

16. 难度：困难

已知函数，且对于任意的，，，恒成立，则的取值范围是________.

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求函数的最大值和最小值.

18. 难度：中等

（1）证明不等式.

（2）证明：当时，不等式恒成立.

19. 难度：中等

已知抛物线上一点到焦点的距离.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线与，两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得，如果存在，请求出定点的坐标，如果不存在请说明理由.

20. 难度：中等

如图所示在四棱锥中，下底面为正方形，平面平面，为以为斜边的等腰直角三角形，，若点是线段上的中点.

（1）证明平面.

（2）求二面角的平面角的余弦值.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若恒成立，求的取值范围.

22. 难度：困难

已知椭圆的左右焦点分别为，，该椭圆与轴正半轴交于点，且是边长为的等边三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点任作一直线交椭圆于，两点，平面上有一动点，设直线，，的斜率分别为，，，且满足，求动点的轨迹方程.