2019届福建省厦门市毕业班第二次质量检查理科数学

一、单选题

1. 难度：简单

在复平面内，复数（为虚数单位）所对应的点在（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 难度：简单

已知集合， ，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知等差数列的前n项和为，，则（    ）

A. B. C.7 D.14

4. 难度：简单

斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”.如图，矩形是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（　　）

A.华为的全年销量最大 B.苹果第二季度的销量大于第三季度的销量

C.华为销量最大的是第四季度 D.三星销量最小的是第四季度

6. 难度：中等

已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，焦距为，C的一条渐近线被以F为圆心，OF为半径的圆F所截得的弦长为2，则C的方程是（  ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

在同一平面中，，，若（，），则（    ）

A. B. C. D.1

9. 难度：中等

已知定义在上的奇函数满足，曲线在点处的切线的倾斜角为，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知抛物线，直线过的焦点，交于两点，且在轴上方，是的准线上一点，平行于轴，为坐标原点，若，则的斜率为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

已知数列的前项和为，，当时，，，成等比数列，若，则的最大值为（    ）

A.9 B.11 C.19 D.21

12. 难度：困难

在长方体中，，，，是的中点，是棱上一点，，动点在底面内，且三棱锥与三棱锥的体积相等，则直线与所成角的正切值的最小值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

设，满足约束条件则的最小值是__________.

14. 难度：简单

在“2022北京冬奥会”宣传活动中，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了、、三个项目的志愿者活动，每个项目至少需要1名志愿者，则共有__________种不同的方案.（用数字填写答案）

15. 难度：中等

函数，若直线是曲线的一条对称轴，则________.

16. 难度：困难

若函数的最小值为，则的取值范围是__________.

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，二面角为.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

2018年11月1日，习总书记在民营企业座谈会上指出，“我国民营经济只能壮大、不能弱化”.某民营企业计划投资引进新项目，项目一使用甲种机器生产种产品；项目二使用乙种机器生产种产品.甲种机器每台2万元，乙种机器每台1万元，当甲、乙两种机器出现故障时，它们每次的维修费用分别为2500元/台和1000元/台.该企业调查了甲、乙两种机器各200台一年内的维修次数，得到频数分布表如下：

维修次数	0	1
甲种机器台数	40	160

维修次数	0	1	2
乙种机器台数	20	160	20

以这各200台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替1台相应机器需要维修次数的概率.

（1）若该企业投入100万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学期望；

（2）该企业现有资金1110万元，计划只投资一个项目，其中100万元用于购买机器，并根据机器维修费用的均值预留维修费用，将其余资金作为生产专用资金全部投入生产.据统计：当投入项目一的生产专用资金为万元时，生产产品获利的概率是，且一年获利万元；亏损的概率是，且一年亏损万元.当投入项目二的生产专用资金为万元时，生产产品获利的概率是，且一年获利万元；亏损的概率是，且一年亏损万元.你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由.

20. 难度：中等

已知椭圆，，分别是的上顶点和下顶点.

（1）若，是上位于轴两侧的两点，求证：四边形不可能是矩形；

（2）若是的左顶点，是上一点，线段交轴于点，线段交轴于点，，求.

21. 难度：困难

已知函数（，）

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意，恰有一个零点，求的取值范围.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.交于，两点（在轴上方），交极轴于点（异于极点）.

（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；

（2）若为的中点，为上的点，求的最小值.

23. 难度：简单

已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若时，不等式成立，求的取值范围.