2019届北京市高三下学期月考（三）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（　  ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设i为虚数单位，则复数所对应的点位于（　　）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：中等

执行如图的程序框图，如果输出a的值大于100，那么判断框内的条件为　　

A.？ B.？ C.？ D.？

4. 难度：简单

《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（　  　）

A.1235 B.1800 C.2600 D.3000

5. 难度：中等

已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　  　）

A. B.4 C. D.5

6. 难度：简单

已知非零平面向量,，则“|+|=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（   ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（　  　）

A.  B.  C. D.

二、填空题

9. 难度：中等

在极坐标系中，直线与圆交，两点，则_____．

10. 难度：中等

某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.

11. 难度：简单

已知数列为等比数列，为其前项的和，若，，则_____； _____．

12. 难度：简单

能说明“若点与点在直线的同侧，则”是假命题的一个点M的坐标为_____________.

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-4x，g（x）=sinωx（ω＞0）．若∀x∈[-a，a]，都有f（x）g（x）≤0，则a的最大值为______；此时ω=______．

14. 难度：中等

如图所示，图中的多边形均为正多边形，，是所在边的中点，双曲线均以图中的，为焦点，则图①的双曲线的离心率为_____；图②的双曲线的离心率为_____．

三、解答题

15. 难度：中等

在中，角的对边分别是，已知，，.

(1)求的值；

(2)若角为锐角，求的值及的面积.

16. 难度：中等

如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，是的中点，⊥平面，且，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得⊥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：

	1号	2号	3号	4号	5号	6号	7号	8号	9号	10号
第一轮测试成绩	96	89	88	88	92	90	87	90	92	90
第二轮测试成绩	90	90	90	88	88	87	96	92	89	92

（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；

（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；

（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与， 与的大小.（只需写出结论）

18. 难度：中等

已知函数，．

Ⅰ讨论的单调性；

Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，长轴长为．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ斜率为1的直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A，B两点，设M为椭圆C上任意一点，且，其中O为原点求证：．

20. 难度：困难

数列的各项均为整数，满足：，且，其中．

（1）若，写出所有满足条件的数列；

（2）求的值；

（3）证明：．