福建省晋江市、惠安一中、泉州实验中学2019-2020学年高二上学期期末四校联考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

复数的共轭复数为（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

抛物线的焦点坐标是（）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

《九章算术》第三章“哀分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，乙持钱三百，丙持钱二百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了480钱，乙带了300钱，丙带了220钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（    ）

A.50 B.32 C.31 D.30

4. 难度：简单

“”是“曲线为双曲线”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知，且，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知圆与双曲线的渐近线相切，且圆心恰好是双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程是

A.  B.

C.  D.

7. 难度：中等

函数的图象大致是(    )

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

设F为抛物线的焦点，斜率为k（）的直线过F交抛物线于A，B两点，若，则直线的斜率为（    ）

A. B. C.1 D.

9. 难度：困难

已知在R上有两个零点，则a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

(理)已知有相同两焦点F₁、F₂的椭圆+ y²=1(m>1)和双曲线- y²=1（n>0），P是它们的一个交点，则ΔF₁PF₂的形状是 （ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝有三角形 D.随m、n变化而变化

11. 难度：中等

利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：

(1)以O为圆心制作一个小的圆；

(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；

(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；

(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为

A. B. C. D.

二、多选题

12. 难度：简单

已知为等腰直角三角形，其顶点为，若圆锥曲线以焦点，并经过顶点，该圆锥曲线的离心率可以是（）

A. B. C. D.

三、填空题

13. 难度：简单

命题p：“，使”，则它的否定为：______.

14. 难度：简单

袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13  24  12  32  43  14  24  32  31  21  23  13  32  21  24  42  13  32  23  34据此估计，直到第二次就停止的概率为______.

15. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足为，若与（其中为坐标原点）的面积之比为3：1，则点的坐标为___________．

16. 难度：困难

已知函数（）.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是______.

四、解答题

17. 难度：中等

已知曲线C：

（1）求在点处的切线方程；

（2）求在R上的极值

18. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，与相交于点E，平面，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

某“双一流类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：

（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数；

（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：

方案一：设区间，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；

方案二：每人按月薪收入的样本平均数的收取；

用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？

20. 难度：中等

已知正方形的边长为4，E，F分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点M在线段上.

（1）若M为的中点，且直线与由A，D，E三点所确定平面的交点为G，试确定点G的位置，并证明直线面；

（2）是否存在M，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时的值，若不存在，说明理由.

21. 难度：困难

已知椭圆C：（）的左右焦点分别为，，点为短轴的一个端点，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，过右焦点，且斜率为k（）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于点M，N，线段的中点为P，记直线的斜率为.试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

22. 难度：困难

已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，求的最大值．