2020届湖南省长沙市高三第五次月考数学(文)试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知，则“”是“”的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

3. 难度：中等

2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（    ）

A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数 B.甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数

C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数 D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差

4. 难度：中等

（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为

A. 1 B. 2

C. 4 D. 8

5. 难度：中等

函数f(x)在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数，若f(1)=-1，则满足-1≤_f(x-2）≤1的x的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

在△中，为边上的中线，为的中点，则

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 难度：中等

如图所示的四个正方体中，正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（    ）

A.①② B.②③ C.③④ D.①②③

9. 难度：中等

函数的图象大致为

A.  B.

C.  D.

10. 难度：简单

将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于的结论错误的是（    ）

A.的最小正周期为 B.的图象关于点对称

C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增

11. 难度：简单

若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ）

A.0 B.1 C.0或1 D.0或

12. 难度：困难

已知，是圆上两点，点在抛物线上，当取得最大值时，（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

在复平面内，复数所对应的点位于第_________象限.

14. 难度：简单

已知双曲线的离心率为则它的一条渐近线被圆所截得的弦长等于_____.

15. 难度：中等

已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为______。

16. 难度：困难

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，……，以此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是________。

三、解答题

17. 难度：中等

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角C；（2）若，，求的周长.

18. 难度：中等

在如图所示的五面体中,四边形为菱形,且为中点.

 

(1)求证:平面;

(2)若平面平面,求到平面的距离.

19. 难度：中等

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M，当M≥85时，产品为一级品；当75≤M<85时，产品为二级品；当70≤M<75时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

B配方的频数分布表

（1）从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；

（2）若这种新产品的利润率y与质量指标M满足如下条件：其中t∈，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？

20. 难度：中等

已知函数，．

（Ⅰ）记，试判断函数的极值点的情况；

（Ⅱ）若有且仅有两个整数解，求实数的取值范围．

21. 难度：中等

已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；

（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

22. 难度：中等

在直角坐标系.xOy中，曲线C₁的参数方程为（ 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ.

（1）求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；

（2）已知曲线C₂的极坐标方程为，点A是曲线C₃与C₁的交点，点B是曲线C₃与C₂的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，求α的值.

23. 难度：困难

[选修4-5：不等式选讲]

已知实数正数x, y满足．

（1）解关于x的不等式；

（2）证明：