2019届福建省高三上学期开学质检数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若复数z，则复数z在复平面内对应的点在（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 难度：中等

设集合，，则（  ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

已知a＝log₃e，b＝ln3，c＝log，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.b＞c＞a

5. 难度：简单

如图，八边形ABCDEFGH是一个正八边形，若在正八边形内任取一点，则该点恰好在四边形ACEG内的概率是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，若此三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）

A.32π B.50π C.72π D.98π

7. 难度：简单

某校高三年级有1000名学生，其中理科班学生占80%，全体理科班学生参加一次考试，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），若考试成绩不低于60分为及格，则此次考试成绩及格的人数约为（    ）

（参考数据：若Z～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974）

A.778 B.780 C.782 D.784

8. 难度：简单

已知函数f（x）＝cos（），把函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则下面结论正确的是（    ）

A.函数g（x）是偶函数

B.函数g（x）的最小正周期是4π

C.函数g（x）在区间[π，3π]上是增区数

D.函数g（x）的图象关于直线x＝π对称

9. 难度：简单

中国古代数学名著《九章算术》中的“蒲莞生长”是一道名题根据该问题我们改编一题：今有蒲草第一天长为三尺，莞草第一天长为一尺，以后蒲草的生长长度遂天减半，莞草的生长长度逐天加倍，现问几天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍，以下给出了问题的四个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（    ）

A.2.6日 B.3.0日 C.3.6日 D.4.0日

10. 难度：简单

在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（    ）

A.1 B. C. D.

11. 难度：简单

倾斜角为的直线经过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数f（x）与g（x）＝3elnx+mx的图象有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（    ）

A.（﹣3，） B.（﹣1，） C.（﹣1，3） D.（0，3）

二、填空题

13. 难度：简单

若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为_____．

14. 难度：简单

在（x）⁶的展开式中，x³的系数为_____．

15. 难度：中等

已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，准线为x＝﹣3，圆C₂：（x﹣3）²+y²＝1，过圆心C₂的直线l与抛物线C₁交于点A，B，l与圆C₂交于点M，N，且|AM|＜|AN|，则|AM||BM|的最小值为_____．

16. 难度：简单

已知数列{a_n}中，a₁＝0，a_n+1＝a_n+6n+3，数列{b_n}满足b_n＝n，则数列{b_n}的最大项为第_____项

三、解答题

17. 难度：简单

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角A；

（2）若a，b，求边c的长．

18. 难度：简单

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的点，且EA＝EB＝ED＝AB，延长CE交AD于点F．

（1）若G为PD的中点，求证平面PAD⊥平面CGF；

（2）若AD＝AP＝6，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．

19. 难度：简单

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），左、右顶点分别为M，N，点P是E在第一象限上的任意一点，且满足k_PM•k_PN＝8．

（1）求双曲线E的方程；

（2）若直线PN与双曲线E的渐近线在第四象限的交点为A，且△PAF的面积不小于3，求直线PN的斜率k的取值范围．

20. 难度：简单

某水产养殖户在鱼成熟时，随机从网箱中捕捞100尾鱼，其质量分别在[4，4.5），[4.5.5），[5.5.5），[5.5，6），[6，6.5），[6.5，7]（单位：斤）中，经统计得频率分布直方图如图所示

（1）现按分层抽样的方法，从质量为[4.5，5），[5，5.5）的鱼中随机抽取5尾，再从这5尾中随机抽取2尾，记随机变量X表示质量在[4.5，5）内的鱼的尾数，求X的分布列及数学期望．

（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，该养殖户还未捕捞的鱼大约还有1000尾，现有两个方案：

方案一：所有剩余的鱼现在卖出，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤10元，质量高于5.5斤的鱼售价为每斤12元

方案二：一周后所有剩余的鱼逢节日卖出，假设每尾鱼的质量不变，鱼的数目不变，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤15元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾22元；质量高于5.5斤的鱼售价为每斤16元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾24元通过计算确定水产养殖户选择哪种方案获利更多？

21. 难度：中等

已知函数f（x）＝e^x．

（1）若f（x）的图象在x＝a处切线的斜率为e﹣1，求正数a的值；

（2）对任意的a≥0，f（x）＞2lnxk恒成立，求整数k的最大值．

22. 难度：简单

在极坐标系中，直线的方程为2ρcosθ+5ρsinθ﹣8＝0，曲线E的方程为ρ＝4cosθ．

（1）以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，分别写出直线l与曲线E的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线E交于A，B两点，点C在曲线E上，求△ABC面积的最大值，并求此时点C的直角坐标．

23. 难度：简单

设函数f（x）＝|3x﹣4|﹣|x+1|．

（1）解不等式f（x）＞5；

（2）若存在实数x满足ax+a≥f（x）成立，求实数a的取值范围．