2009年北京市崇文区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

由实数a，-a，|a|，所组成的集合里，所含元素个数最多有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

2. 难度：中等

设条件p：a＞0；条件q：a²+a≥0，那么p是q的什么条件（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．非充分非必要条件

3. 难度：中等

若f（tanx）=cos2x，则的值是（ ）
A．
B．
C．-
D．

4. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若函数则y=f（x）的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数的单调递增区间为（ ）
A．（0，1）
B．（-2，1）
C．（0，）
D．（，1）

7. 难度：中等

如图，正三棱锥S-ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，PQ=PS•sinα，则动点P的轨迹为（ ）

A．线段
B．圆
C．一段圆弧
D．一段抛物线

8. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R满足：，
考察下列结论：①f（0）=f（1）；②数列{a_n}为等比例数列；③数列{b_n}为等差数列．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①②
D．②③

二、解答题

9. 难度：中等

等比数列{a_n}中，已知a₁+a₂=4，a₁+a₂+a₃+a₄=5，则公比q=    ．

10. 难度：中等

已知又曲线的中心在原点O，焦点在x轴上，它的虚轴长为2，且焦距是两准线间距离的2倍，则该双曲线的方程为    ．

11. 难度：中等

设常数a＞0，展开式中x³的系数为，则=    ．

12. 难度：中等

正四棱锥形S-ABCD的5个顶点都在球O的表面上，过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为1，则球O的表面积为    ．

13. 难度：中等

（理）已知实数x，y满足约束条件，（a∈R）目标函数z=x+3y，只有当时取得最大值，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a_n}是等和数列，且a₁=2，公和为5，那么a₁₈的值为     ，这个数列的前n项和S_n的计算公式为     ．

15. 难度：中等

如图，是函数f₁（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜，B∈R）在同一个周期内的图象．
（I）求函数f₁（x）的解析式；
（II）将函数y=f₁（x）的图象按向量平移，得到函数y=f₂（x），求y=f₁（x）+f₂（x）的最大值，并求此时自变量x的集合．

16. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，AA₁=，N、M分别是线段B₁B、AC₁的中点．
（I）证明：MN∥平面ABC；
（II）求A₁到平面AB₁C₁的距离
（III）求二面角A₁-AB₁-C₁的大小．

17. 难度：中等

某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．
（I）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；
（II）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；
（III）设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为ξ，求ξ的分布列和期望．

18. 难度：中等

如图，已知M是函数y=4-x²（1＜x＜2）的图象C上一点，过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值．

19. 难度：中等

已知直线l：y=kx+k+1，抛物线C：y²=4x，定点M（1，1）．
（I）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；
（II）当k（k≠0）变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线l的对称点为Q（x，y），求x关于k的函数关系式x=f（k）；若P与M重合时，求x的取值范围．

20. 难度：中等

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
（Ⅲ）设x₁是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．