2009-2010学年江苏省南通市四星级高中高三（下）月考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={y|y=2^|x|-1，x∈R}，集合，则集合{x|x∈A且x∉B}=    ．

2. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使（a²-3a+2）x²+（a-1）x+2＜0”是真命题，则实数a的取值范围为    ．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=-n²+3n，则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

4. 难度：中等

直线y=kx+1与曲线y=x³+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为     ．

5. 难度：中等

若f（x）是R上的增函数，且f（-1）=-4，f（2）=2，设P={x|f（x+t）＜2}，Q={x|f（x）＜-4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是    ．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，，则a_n=    ．

7. 难度：中等

某校学生会要求学生参加一项社会调查活动，九年级学生小明想了解他所在村1000户村民的家庭收入情况，从中随机调查了40户村民的家庭收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．

根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布表和补全频数分布直方图；
（2）这40户家庭收入的中位数落在哪一个小组？
（3）请你估计该村家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有多少户？

8. 难度：中等

设函数，区间M=[a，b]（其中a＜b）集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有    个．

9. 难度：中等

设函数f（x）的定义域，值域分别为A，B，且A∩B是单元集，下列命题中：
①若A∩B={a}，则f（a）=a；
②若B不是单元集，则满足f[f（x）]=f（x）的x值可能不存在；
③若f（x）具有奇偶性，则f（x）可能为偶函数；
④若f（x）不是常数函数，则f（x）不可能为周期函数．
正确命题的序号为    ．

10. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n=n²+1，数列{b_n}满足：b₁=1，当n≥2时，b_n=a_bn-1，设数列{b_n}的前n项和为T_n，则T₅=    ．

11. 难度：中等

已知命题p：对一切x∈[0，1]，k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）≠0，若命题p是假命题，则实数k的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知集合A={x|2x-a≤0}，B={x|4x-b＞0}，a，b∈N，且（A∩B）∩N={2，3}，由整数对（a，b）组成的集合记为M，则集合M中元素的个数为    ．

13. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：f=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=（n∈N^*），b_n=（n∈N^*），考察下列结论：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为偶函数；
③数列{b_n}为等差数列；
④数列{a_n}为等比数列，
其中正确的是    ．（填序号）

14. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，则正数a的范围    ．

15. 难度：中等

已知：命题p：函数g（x）的图象与函数f（x）=1-3x的图象关于直线y=x对称，且|g（a）|＜2．命题q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=φ．求实数a的取值范围，使命题p、q有且只有一个是真命题．

16. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和S_n满足条件，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=a_np^a_n（p＞0），求数列{b_n}的前n项和T_n．

17. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）求A₁A的长；
（2）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元（其中t为常数，且2≤t≤5），设该工厂每件玩具的出厂价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．
（1）求该工厂的日利润y（元）与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；
（2）当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

19. 难度：中等

已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的长．

22. 难度：中等

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范围．

23. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*．用数学归纳法证明：．