2011年湖南省益阳市沅江市高三质量检测试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数i³（1+i）²=（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

已知集合A={x|x²-4x＞0}，B={x||x-1|≤2}，那么集合A∩B等于（ ）
A．{x|-1≤x＜0}
B．{x|3≤x＜4}
C．{x|0＜x≤3}
D．{x|-1≤x＜0，或3≤x＜4}

3. 难度：中等

下列条件中能使命题“a∥b且b∥c⇒a∥c”为真命题的条件的个数是
①a，b，c都表示直线；    ②a，b，c中有两个表示直线，另一个表示平面；
③a，b，c都表示平面；    ④a，b，c中有两个表示平面，另一个表示直线科（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

4. 难度：中等

从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）
A．108种
B．186种
C．216种
D．270种

5. 难度：中等

函数y=x•lnx（x∈（0，5））（e为自然对数的底）的单调性（ ）
A．是单调增函数
B．是单调减函数
C．在（0，e）上递增，在（e，5）上递减
D．在（0，）上递减，在（，5）上递增

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=2sinx，动直线x=t与f（x）、g（x）的图象分别交于点P、Q，|PQ|的取值范围是（ ）
A．[0，1]
B．[0，2]
C．[0，]
D．[1，]

7. 难度：中等

我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0）．如图，设点F，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁、A₂和B₁、B₂是“果圆”与x，y轴的交点，若△FF₁F₂是边长为1的等边三角，则a，b的值分别为（ ）

A．
B．
C．5，3
D．5，4

8. 难度：中等

称为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①；②；③对任意的t∈R，恒有则（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

设函数f（x）=（2x+5）⁶，则导函数f′（x）中的x³的系数是    ．

10. 难度：中等

等差数列{a_n} 的前n项和为S_n，若S₅=35，点A（3，a₃）与B（5，a₅）都在斜率为-2的直线l上，则直线l在第一象限内所有整点（横、纵坐标都是整数的点）的纵坐标的和为    ．

11. 难度：中等

设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数．则方程x²+ax+2=0 有两个不等实根的概率为    ．

12. 难度：中等

定义行列式运算，将函数f（x）=的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为    ．

13. 难度：中等

若一个三棱锥中有一条棱长为x（其中），其余各条棱长均为1，则它的体积     ．（用x表示）

14. 难度：中等

一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是    ．

15. 难度：中等

已知f（x）=x²-6x+5且，x，y满足，则的最大值    ．

16. 难度：中等

设α、β为锐角，且=（sinα，-cosα），=（-cosβ，sinβ），=（，），求•和cos（α+β）的值．

17. 难度：中等

已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值；
（1）求随机变量ξ的数学期望
（2）记“关于x的不等式 ξx²-ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

18. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CC₁=3，BC=4，G是AB₁和A₁B的交点，若C₁G⊥A₁C．
（I） 求CA的长．
（II） 求点A到平面A₁BC₁的距离；
（III） 求二面角C₁-A₁B-C的大小．

19. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=，P₁为椭圆上一点，满足•=0，•=，斜率为k的直线l 过左焦点F₁且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为G，点Q分有向线段所成的比为λ．
（I） 求椭圆C的方程；
（II） 设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．

20. 难度：中等

已知点集，其中，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的公共点，等差数列{a_n}的公差为1．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，数列{c_n}的前n项和S_n满足M+n²S_n≥6n对任意的n∈N^*都成立，试求M的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：
（参考数据：ln2≈0.6931）